Matematické Fórum

crundy.20

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit, jak na inverzní funkce u goniometrických funkcí. Vím samozřejmě že je potřeba vyjádřit x a pak prohodit písmenka, ale u tohoto příkladu si vůbec nevím rady jak na ten arccos, když je to x v argumentu a ještě ke všemu na druhou.
$y=[6+arccos(\frac{x+6}{x-6})]^{2}$

Děkuji moc za každou radu.

Jj · 09. 10. 2015 20:44

↑ crundy.20:

Dobrý den.

Řekl bych, že

$y=\left[6+\arccos\left(\frac{x+6}{x-6}\right)\right]^{2}$

$\left|6+\arccos\left(\frac{x+6}{x-6}\right)\right|=\sqrt{y}\Rightarrow 6+\arccos\left(\frac{x+6}{x-6}\right)=\sqrt{y}$

Arckosinus není problém:

$\arccos\left(\frac{x+6}{x-6}\right)=\sqrt{y}-6\Rightarrow \frac{x+6}{x-6}=\cos(\sqrt{y}-6)$

Dále to, předpokládám, půjde.

crundy.20 · 09. 10. 2015 21:16

Děkuji, to vypadá celkem logicky. Vyšlo mi
$y=-6*\frac{1+cos(\sqrt{x}-6)}{1-cos(\sqrt{x}-6)}$
teď mě ještě napadá omezit definiční obor, protože arc cos má obor hodnot $<0;\pi >$ takže to by ted byl definiční obor inverzní funkce, píšu-li to správně.

Al1 · 10. 10. 2015 22:07

↑ crundy.20:

Zdravím,

vím, že je téma vyřešené, předpis inverzní fce je v pořádku. Ale určení def.oboru inverzní fce není správné.

Pro původní fci platí následující

def. obor $-1\le \frac{x+6}{x-6}\le 1$ , z toho plyne $D_{f}=(-\infty ;0\rangle$

obor hodnot

$y=\frac{x+6}{x-6}$ má obor hodnot $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ , fce $y=\arccos \frac{x+6}{x-6}$ má obor hodnot $0<y\le \pi$ , fce $y=6+\arccos \frac{x+6}{x-6}$ má obor hodnot $6<y\le \pi+6$ a konečně fce $y=\bigg(6+\arccos \frac{x+6}{x-6}\bigg)^{2}$ má obor hodnot $36<y \le (\pi+6)^{2}$ . A to bude zároveň definiční obor inverzní funkce.