Matematické Fórum

kolejo · 10. 10. 2015 13:50

Dobrý den,
důkazy indukcí nebývají těžké a většinou se to dá nějak vymyslet. S tímto zadáním si nevím rady.
Nevím, jestli mi nechybí nějaká fajn věta, díky které to půjde snadno. Díky za jakoukoliv radu.
(to zadání má obecnější podobu, která se týká prvočísel, proto tento název tématu)

$\text{Dokažte indukcí, že pro každé } n\in \mathbb{N} \text{ platí}$
$5^{2^{n-2}}-2^n\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{n+1} \text{)}.$

Prvních pár přirozených čísel:
n=1:
$5^{2^{1-2}}-2^1\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{1+1} \text{)}$
$\sqrt{5}-2\equiv 1 \quad \text{(mod } 4 \text{)}$
$5 \equiv 9 \quad \text{(mod } 4 \text{)}$

n=2:
$5^{2^{2-2}}-2^2\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{2+1} \text{)}.$
$5^{1}-4\equiv 1 \quad \text{(mod }8 \text{)}.$
ok

Vím-li tedy, že pro k přirozené číslo platí:
$5^{2^{k-2}}-2^k\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{k+1} \text{)}.$
Jak z toho můžu ukázat, že platí i
$5^{2^{k-1}}-2^{k+1}\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{k+2} \text{)}$
?

Mám to dělat úplnou indukcí, že bych předpokládal, že to platí pro k\inN a všechna čísla až do k?
Nejvíc mi asi vadí ten modul, podle kterýho se to dělá.
Ještě mě napadlo přepsat tu kongruenci podle nějaké ekvivalentní definice, třeba bych to v tom uviděl líp.
Zkusím pokračovat, kdyžtak dík za rady.
kolejo

Rumburak · 10. 10. 2015 14:49

↑ kolejo:

Ahoj.

Výrok $5^{2^{n-2}}-2^n\equiv 1 \quad \text{(mod }2^{n+1} \text{)}$ říká:

Existuje celé číslo $N$ takové, že $5^{2^{n-2}}-2^n = N\cdot 2^{n+1} + 1$ .