Matematické Fórum

Skrytý text:
Předpokládejme, že zmíněná funkce opravdu existuje a zkoumejme její vlastnosti.

Předpokládejme, že , kde . Zaveďme označení iterace , kde funkce je aplikována m-krát za sebou.

Podle zadání by mělo platit . Proto . Rovnost lze přepsat do tvaru . Z toho plyne, že . (1)

Dále ale mohu napsat výraz i jiným způsobem: uvažme funkci . Iterujeme-li tuto funkce -krát, dostaneme . Speciálně pro argument máme: . Nezapomeňme však, že . Proto . (2)

Srovnáním (1) a (2) dostaneme rovnici , která nemá celočíselné řešení. To je v rozporu z předpokladem, že

Závěrem tedy je, že zkoumaná funkce neexistuje.

Skrytý text:

Nechť f(1)=k, pak tedy musí být f(k)=2 (aby bylo f(f(1))=2) a podobně f(2)=k+1... Tak dostáváme postupnou apliakcí (iterací) funkce f na hodnotu 1 nutné hodnoty f: 1,k,2,k+1,3,k+2,..,k+i,i+2,k+i+1,.. (vždy následujcíí člen uvedené posloupnosti je hodnota funkce f aplikovaná na předchozí člen) - a volme i tž. i+2=k - potom ovšem je f(i+2)=k+i+1, tj. po dosazení za i je f(k)=2k-1. Ovšem hned na začátku jsme odvodili, že f(k)=2 - takže musí být hodnoty f v bodě k v obou případech stejné, tj. 2k-1=2, tj. k=3/2 - což je spor s tím, že k je přirozené.

(Ale možná je to stejný postup jaký má kolega Anonymystik, jen trošku jinak zapsaný.)