Matematické Fórum

Freedy · 13. 10. 2015 16:41

Dobrý den,

rád bych vás poprosil o nápovědu, jak najít počet všech relací na M (kde |M|=n) které jsou ekvivalencí 2 třídy.
Já si jednu takovou vytvořil a to relaci, že
$R=\{[a,b]\in M^2;a-b=2k, k\in \mathbb{Z}\}$
Nicméně, je to vůbec ekvivalence 2 třídy?

Pokud bych si tuto relaci vyzkoušel například na množině $M=\{1,2,3,4\}$ tak dostávám relaci:
$R=\{[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[1,3],[2,4],[3,1],[4,2]\}$
Chápu to správně, že mám tedy dvě třídy
$R_1=\{1,3\}$
$R_2=\{2,4\}$ ? V podstatě tedy lichá a sudá čísla?

popřípadě, jak by to bylo s počtem všech takových relací?
Díky za odpověď,
Freedy

Formol · 13. 10. 2015 18:01

Hezký den,
mně celkem pomáhá si relaci zakreslit jako matici vztahů (a_ij=0 znamená, že i není v relaci s j, 1 znamená, že jsou v relaci). Rozdělení na dvě třídy ekvivalence znamená, že prvky jde rozdělit na dvě skupiny navzájem propojitelné řadou ekvivalencí. Třeba když si to zkusíš kreslit do matice, napadne tě možné omezení. Ale je to první nápad, třeba nikam nepovede...

Freedy · 13. 10. 2015 18:22

toto jsem zkoušel. Jediné s čím mám problém je ta tranzitivita. ://

Bati · 13. 10. 2015 21:39 — Editoval Bati (13. 10. 2015 21:56)

↑ Freedy:
Ahoj,
nenapsal jsi, co to je ekvivalence druhé třídy, což jsem osobně nikdy neslyšel. Z toho, co jsi napsal předpokládám, že jde o ekvivalenci, obsahující 2 třídy.

Každá ekvivalence druhé třídy na M rozdělí M na 2 disjunktní podmnožiny, jejichž sjednocení je M. Zdá se mi proto, že hledaný počet relací je roven počtu způsobů, jak rozdělit hromádku n rozlišitelných prvků do dvou menších, neprázdných.

Freedy · 13. 10. 2015 21:49

↑ Bati:
dobrá, já se případně otážu.
Já to pochopil tak, že třída ekvivalence je taková množina, že vybereme jeden prvek a hledáme všechny, které jsou s ním v relaci. V mém případě jsem vybral 1 a ta je v relaci jenom s 3. Se dvojkou ani 4 v relaci být nemůže = bylo by to liché číslo.
Pořád tu třídu nechápu a definicím, které pročítám, nerozumím :/

PS: díky za reakci :)

Bati · 13. 10. 2015 21:56 — Editoval Bati (13. 10. 2015 21:58)

↑ Freedy:
Jo, to máš pravdu. (Ještě je dobré doplnit, že např. 1 je v relaci s 1, nejen s 3).

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2015 16:41

Ekvivalence druhé třídy

#2 13. 10. 2015 18:01

Re: Ekvivalence druhé třídy

#3 13. 10. 2015 18:22

Re: Ekvivalence druhé třídy

#4 13. 10. 2015 21:39 — Editoval Bati (13. 10. 2015 21:56)

Re: Ekvivalence druhé třídy

#5 13. 10. 2015 21:49

Re: Ekvivalence druhé třídy

#6 13. 10. 2015 21:56 — Editoval Bati (13. 10. 2015 21:58)

Re: Ekvivalence druhé třídy

Zápatí