Matematické Fórum

Jakub1 · 13. 10. 2015 19:51

Dobrý deň, mám danú $\emptyset \neq A \subseteq\mathbb{R}$ . Mám ju určiť tak, aby platilo:

$\exists x,y\in A: \left( (x<y)\wedge(\forall q\in \mathbb{Q} : (x^{2}\ge q^{2})\vee (q^{2}\ge y^{2})) \right)$

Nejako na to neviem prísť. Vedel by mi niekto poradiť? Ďakujem.

Bati · 13. 10. 2015 20:20

Ahoj,
využij těch druhých mocnin - uvědom si, proč by to bez nich nešlo. Pak na to přijdeš.

Jakub1 · 13. 10. 2015 20:54

Ďakujem za radu. Mne ide aj o to, či majú kvantifikátory nejaké prioritné delenie, resp. ako ich chápať. Mohol by som zobrať napr. interval $\left( -\infty;0 \right)$ , kde pre $\left(x=-2\wedge y=-1\right): (x<y)\wedge \left(x^{2}>y^{2}\right)$ . Ale akú mám záruku, že pre všetky $q \in \mathbb{Q}$ to bude platiť?

OndrasV · 13. 10. 2015 20:59

Nemá být $(x<y)\wedge \left(x^{2}y^{2}\right)$ ? Q je hustá v R, tak máš jistotu, že můžeš použít v druhou nerovnost.

Bati · 13. 10. 2015 21:04

↑ Jakub1:
To, co navrhuješ by nefungovalo, protože mezi $(-2)^2$ a $(-1)^2$ je spousta racionálních čísel.

Když si odmyslím ty druhé mocniny, jak jsem navrhoval, tak vlastně hledáš čísla $x<y$ tak, aby interval $[x,y]$ neobsahoval žádné racionální číslo. Protože rac. čísla tvoří hustou podmnožinu reálných, je jasné že ty čísla nelze najít, pokud ten interval není degenerovaný. Myslím, že jsem napověděl dost.

Jakub1 · 13. 10. 2015 21:51

Myslíte, že by môj návrh nefungoval? Podľa mňa áno. Platilo by:
1.) $q^{2}-4\le 0\Rightarrow q\in \langle-2;2\rangle\cap \mathbb{Q}$
$\vee$
2.) $q^{2}-1\ge 0\Rightarrow q\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle1;\infty)\cap \mathbb{Q}$

Teda po zjednotení:
$q \in (-\infty;-1\rangle\cup \langle 1;\infty )\cup \langle-2;2\rangle\cap \mathbb{Q}$

Čo podľa mňa dáva: $q \in \mathbb{Q}$

Bati · 13. 10. 2015 22:08

↑ Jakub1:
Ok, to je pravda. Fungovalo by např. i $x=-1$ , $y=1$ , což je triviální příklad.

Jakub1 · 13. 10. 2015 22:51

Čiže ak sme predpokladali interval $I=(-\infty;0)$ , tak potom sme predpokladali správne, lebo existuje aspoň jedna taká dvojica $[x;y]=[-2;-1]$ , pre ktoré platí daný výrok, nie?

Bati · 13. 10. 2015 23:28

↑ Jakub1:
Ano. Podstata je v tom, že nerovnost $x<y$ se umocněním může změnit na $y^2\leq x^2$ a pak je jasné, že $[y^2,+\infty)\cup (-\infty,x^2]=\mathbb{R}$ .

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2015 19:51

Množina

#2 13. 10. 2015 20:20

Re: Množina

#3 13. 10. 2015 20:54

Re: Množina

#4 13. 10. 2015 20:59

Re: Množina

#5 13. 10. 2015 21:04

Re: Množina

#6 13. 10. 2015 21:51

Re: Množina

#7 13. 10. 2015 22:08

Re: Množina

#8 13. 10. 2015 22:51

Re: Množina

#9 13. 10. 2015 23:28

Re: Množina

Zápatí