Matematické Fórum

Katsushiro

Ahoj všichni!

Snažím se řešit ODR 2. řádu, ale nevychází, jak by měla, netuším, kde mám chybu.

ZADÁNÍ:
Vyřešte rovnici $y''-y'=2x$ .

Výsledek by měl být podle SymboLabu $y=c_1\cdot e^x + c2 - x^2 - 2x$ .

MŮJ POSTUP:
1) Sestavím charakteristickou rovnici příslušné homogenní rovnice: $\lambda ^ 2 - \lambda = 0$ . Z té získám kořeny $\lambda_1= 1$ , $\lambda_2= 0$ .

2) Kořeny se nerovnají, takže obecné řešení je $y_h = C_1 \cdot e^x + C_2$ .

3) Pomocí variace konstant vytvořím soustavu rovnic:
$C'_1(x) \cdot e^x + C'_2(x) \cdot 1 = 0$
$C'_1(x) \cdot e^x + C'_2(x) \cdot 0 = 2x$

4) Ze sestavy rovnic získám Wronskián (kvůli procvičení, jinak vidím, že se to dá řešit přímo součtovou metodou):
$W = det \begin{bmatrix} e^x & 1 \\ e^x & 0 \end{bmatrix} =-e^x$
5) Cramerovou metodou (opět, kvůli procvičení) získám $C_1(x)$ a $C_2(x)$ .
$D_{C_1} = det \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2x & 0 \end{bmatrix} = -2x$
$C'_1(x) = \frac{D_{C_1}}{W} = \frac{-2x}{-e^x} = \frac{2x}{e^x}$
$C_1(x) = \int \frac{2x}{e^x} dx = 2(-e^{-x}\cdot x - e^{-x}) = -2e^{-x}(x+1)$
$D_{C_2}= det \begin{bmatrix} e^x & 0 \\ e^x & 2x \end{bmatrix} = 2x\cdot e^x$
$C'_2(x) = \frac{D_2}{W} = -2x$
$C_2(x) = -2$

6) Partikulární řešení získám dosazením $C_1(x)$ a $C_2(x)$ do $y_h$ :
$y_p = -2(x+1) - 2$

7) Moje řešení tedy vychází:
$y = y_h +y_p = C_1\cdot e^x + C_2 -2(x+1) - 2$

Mohli byste mi, prosím poradit, kde mám chybu?

Moc díky za všechny odpovědi, Katsu

Al1 · 14. 10. 2015 19:10

↑ Katsushiro:

Zdravím,

ad5)
$C'_2(x) = -2x$
$C_2(x) = -x^{2}$

ad6) $y_p = C_{1}(x)\cdot y_{1}(x)+C_{2}(x)\cdot y_{2}(x)$ , kde $C_{1}(x)=-2\mathrm{e}^{-x}(x+1), C_{2}(x)=-x^{2}, y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}, y_{2}(x)=1$

Rumburak · 15. 10. 2015 13:49

↑ Katsushiro:

Ahoj.

Jen malá poznámka.

Rovnici $y''-y'=2x$ lze buďto integrovat na ekvivalentní tvar $y'-y=x^2 + C$ s neznámou konstantou $C$ ,
nebo substitucí $y' = u$ převést na rovnici $u'-u=2x$ . V obou případech tedy vystačíme s početním aparátem
pro lineární ODR 1. řádu.

Katsushiro · 18. 10. 2015 13:03

↑ Al1: Moc díky, derivovat místo integrace, to byla fakt blbá chyba :D
↑ Rumburak: Taky moc díky, tu možnost se substitucí jsem neznal.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2015 17:53 — Editoval Katsushiro (14. 10. 2015 18:27)

Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu

#2 14. 10. 2015 19:10

Re: Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu

#3 15. 10. 2015 13:49

Re: Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu

#4 18. 10. 2015 13:03

Re: Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu

Zápatí