Matematické Fórum

Luuc · 16. 10. 2015 11:13

Dobrý den,

potřebovala bych poradit s tímto příkladem.

Částice A a B se pohybují v rovině rychlostmi u a v. Určete velikost úhlové rychlosti $\omega$ , s jakou se otáčí spojnice obou částí.

Děkuji.

Formol · 16. 10. 2015 12:19

↑ Luuc:
Hezký den,
doporučuji si nakreslit obrázek: Dvě různoběžky odpovídající trajektoriím bodu A a B, a na ně si zvolit pro nějaký čas t pozice bodů A a B. Potom si myšlenkově posunout čas o dt (v obrázku dost na to, aby to bylo vidět) a nakreslit si pozice bodů A' a B' v čase t+dt. Spojnice bodů A a B, A' a B' a posunů tvoří obecný čtyřúhelník, ale díky spíše pracnému než složitému "trojúhelníkování" (kosinová věta,...) lze něco říct o jeho rozměrech a zejména o úhlu, jaký svírají přímky A'B' a AB.
(První nápad, nemám čas to počítat.)

zdenek1 · 16. 10. 2015 12:47

↑ Luuc:
druhý přístup:
1) zvolím bod A jako referenčíní bod
2) označím $d$ okamžitou vzdálenost bodů, tj. $|\overrightarrow{AB}|=d$
3) relativní rychlost B vzhledm k A je $\vec{v_r}=\vec{v}-\vec{u}$
4) nasadit definici $\vec{\omega }=\frac{\vec{R}\times \vec{v}}{R^2}$

Luuc · 16. 10. 2015 12:53

Super ! Děkuji za vysvětlení !

Luuc · 16. 10. 2015 15:07

Jěště mám dotaz, když potřebuju výsledný vztah vyjádřit pomocí úhlů $\varphi$ a $\vartheta$ , jak to upravím ?

zdenek1 · 16. 10. 2015 18:16

↑ Luuc:
Značení podle obrázku
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/11751_pic.png
$\vec{\omega }=\frac{\vec{d}\times \vec{v_r}}{d^2}=\frac{\vec{d}\times(\vec{v}-\vec{u)}}{d^2}=\frac{\vec d\times\vec v-\vec d\times\vec u}{d^2}$

Protože $|\vec{A}\times\vec B|=|A|\cdot|B|\cdot\sin\alpha$
dostáváš
$|\omega|=\frac{dv\sin\varphi -du\sin \vartheta }{d^2}=\frac{v\sin \varphi -u\sin \vartheta }{d}$