Matematické Fórum

Contemplator · 17. 10. 2015 23:11

Dobrý večer, chcem sa spýtať na príklad: $\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-4x^{2}+5x-2}{x^{5}-3x+2}$ další krok tu mám že: vydelit čitatel aj menovatel polynomom $(x-1)$ a víde mi z toho $\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cdot (x^{2}-3x+2)}{(x-1)\cdot (x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-2)}$ kde mozem skratit $(x-1)$ . Moja otázka je, ako ma napadne ze vydeli cit. aj men. prave tym polynomom? je to len nahodne zvolene, aby mi z toho vysiel urcity vyraz, alebo podla coho si to zvoliM?

Freedy · 17. 10. 2015 23:17

Ahoj,

tak takovéto limity jsou běžně konstruovány tak, že lomený výraz vede na výraz $\frac{0}{0}$ Jestliže po dosazení vlastního čísla dostaneš takovýto výraz, je zřejmé, že (v případě polynom / polynom) ten zlomek je ve tvaru
$\lim_{x\to a}\frac{(x-a)P(x)}{(x-a)Q(x)}$ tedy po dosazení dostáváš 0/0. Pokoušíš se tedy původní polynom vydělit číslem (x-a). Pokud takovou možnost nemáš, tak je zřejmě někde chyba.

Al1 · 18. 10. 2015 09:00 — Editoval Al1 (18. 10. 2015 10:50)

Zdravím,

já doplním:

pokud nejde krátit, nemusí být někde chyba.

Př. 1
$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{x-1}$ ve zlomku nekze krátit výrazem $x-1$ . Podívám se tedy na jednostranné limity
$\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{x-1}=\infty$
$\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{x-1}=-\infty$ , proto $\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{x-1}$

Př.2
$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{(x-1)^{2}}$ ve zlomku nekze krátit výrazem $x-1$ . Podívám se tedy na jednostranné limity
$\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{(x-1)^{2}}=\infty$
$\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{(x-1)^{2}}=\infty$ , proto
$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1}{(x-1)^{2}}=\infty$

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2015 23:11

problém s limitou

#2 17. 10. 2015 23:17

Re: problém s limitou

#3 18. 10. 2015 09:00 — Editoval Al1 (18. 10. 2015 10:50)

Re: problém s limitou

Zápatí