Matematické Fórum

terymath · 15. 10. 2015 19:12

Ahoj,

mám zadaný příklad: Spočítat výšku čtyřstěnu, když je zadáno velikost $AC = 5 cm, CD = 5\sqrt{2}, AD = 5\sqrt{3}$
Určete velikost výšky procházející vrcholem $D$ , jestliže jeho stěna $ABC$ je pravoúhlý trojúhelník s přeponou $AB$ a hrana $BD$ svírá se svým kolmým průmětem do roviny ABC úhel $45°$ .

Nějak si neumím představit, jak to vlastně vypadá v síti (v rovinném zobrazení).

Děkuji za pomoc

jelena · 16. 10. 2015 09:42

Zdravím,

pokud si představuji dobře, tak v podstavě je pravoúhlý trojúhelník, u kterého znáš odvěsnu AC. Vrchol D má kolmou projekci do roviny ABC a DD´=hledaná výška. V trojúhelníku BD´D znáš úhel D´BD (45 stupňů) a tento trojúhelník je pravoúhlý rovnoramenný. V trojúhelníku ACD (boční stěna) znáš všechno, můžeš najít jeho výšku (stěnová výška DX, X náleží AC) a uvažovat trojúhelník BXD (jehož výšku DD´potřebujeme najít). V BXD máme jednu stranu (DX) a úhel proti straně (45 stupňů). Zde to vidím na soustavu rovnic, ale ještě mi chybí jeden údaj (možná jsem něco přehlédla).

Zatím to zkus zakreslit podle popisu, pokud se podaří umístit náčrt (tlačítkem "Upload obrázku" pod oknem zprávy), bylo by lepší na diskusi. A také, prosím, doplňuj zdroj úloh - pokud je opět z přípravy na olympiády, může se hodit. Děkuji.

-----------
"Známe-li v trojúhelníku délky všech stran, jsme schopni dopočítat velikosti vnitřních úhlů takového trojúhelníku" (c)

Honzc · 16. 10. 2015 13:10

↑ terymath:
↑ jelena:
Protože, tr. ACD je také pravoúhlý (hrany délek 5, 5*sqrt(2), 5*sqrt(3)) může být výška totožná s hranou CD
viz. obr.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 16. 10. 2015 22:35

↑ Honzc:

Zdravím a děkuji, na konkrétní hodnoty jsem se nezaměřila, jen na to, co je zadáno. Ale i z Tvého "může" plyne, že není to řešení jediné (a zadání něco chybí) - je tak? Děkuji a zdravím také bratra.

terymath · 17. 10. 2015 13:35

↑ jelena:
Ahoj, v zadání opravdu nic nechybí. Vím jen, že se to má počítat přes Pythagorovu větu a že řešení jsou dvě: $v_{1} = 1, v_{2} = 7$ .

jelena · 17. 10. 2015 19:41

↑ terymath:

děkuji, ano, na Pythagorovu větu to vede a na soustavu kvadratických rovnic, ale pokud nakreslím podle popisu ↑ příspěvek 2:, tak mi pořád chybí ještě jedna informace. Nemám totiž žádný údaj, který by vyžadoval využití, že trojúhelník $ABC$ je pravoúhlý. Není třeba pravoúhlý rovnoramenný?

Nákres dle popisu Tobě souhlasí, nebo narazila jsi na nějakou nesrovnalost? Nejde umístit přímo náhled na zadání? A odkud je? Děkuji.

Akojeto · 18. 10. 2015 01:37

Pravý uhol je v ABC kvôli jednoznačnosti.

Poloha bodu D (a tým aj výška cez D) sa dá pri dodržaní podmienok úlohy zmeniť jedine naklonením trojuholníka ACD tak, aby uhol BCD mal nie 90 stupňov ale 45.

Pytagorovou vetou sa zistí BC a potom jednoduchou úvahou výška cez D.

jelena · 18. 10. 2015 09:38

↑ Akojeto:

Také Vás zdravím a děkuji,
měla bych to snad vypsat i matematickým odvozením, ale i jen "pokusem" klopit trojúhelník ACD nevidím důvod, aby měl pouze 2 polohy. Pokud vyjdu z nákresu kolegy ↑ Honzc: a klopím ACD na 30 stupňů k rovině ABC, bod B mohu posunout po přímce CB tak, aby BD s CB měly úhel 45 stupňů a úhel CDB byl 180-(30+45). A pod. i další. Je nějaký důvod, že by to nešlo? Děkuji.

terymath · 18. 10. 2015 12:48

Nalezla jsem řešení této úlohy, je z ročníku 44.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/65309_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.JPG

Bohužel nechápu, jak se dostali na hodnotu 8 cm, se kterou pak počítají.

jelena · 18. 10. 2015 13:13

↑ terymath:

děkuji, na str. MO tento ročník není, ale kolega BakyX dával odkazy na jiné zdroje, touto cestou najdeš i 44. ročník. Kolegovi děkuji. V zadání je ještě, že |BC|=8 cm. Tak se ozvi, zda jsi našla zadání + zda je již dořešeno (případně s autorem Tvé úlohy ověřit ještě zadání). V pořádku? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2015 19:12

Velikost výšky čtyřstěnu

#2 16. 10. 2015 09:42

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#3 16. 10. 2015 13:10

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#4 16. 10. 2015 22:35

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#5 17. 10. 2015 13:35

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#6 17. 10. 2015 19:41

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#7 18. 10. 2015 01:37

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#8 18. 10. 2015 09:38

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#9 18. 10. 2015 12:48

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#10 18. 10. 2015 13:13

Re: Velikost výšky čtyřstěnu

#11 18. 10. 2015 14:40 Příspěvek uživatele terymath byl skryt uživatelem terymath. Důvod: oprava

Zápatí