Matematické Fórum

Hax · 20. 10. 2015 19:30

Dobrý večer,

mám dotaz: Pokud mám funkci f(x) a její Df. A vyberu si interval $\langle a, b\rangle \subset Df$ kde f(a) < 0 a f(b) > 0, potom platí že exituje alespoň jeden bod f(x) = 0.

Mě se zdá že to není pravda. Protože funkce f(x) = 1/x má na intervalu $\langle -1, 1\rangle$ žádny bod, který by protínal osu x. Mám pravdu nebo se to musí chápat nějak jinak?

Bati · 20. 10. 2015 19:33

Zdravím, ↑ Hax:
zde je zásadní předpoklad spojitosti f. Bez něj to samozřejmě neplatí a s ním je to známé tvrzení "o nabývání mezihodnot".

Hax · 20. 10. 2015 19:50

↑ Bati:

Pokud to chápu dobře, tak pokud je funkce spojitá tak a f(a) < 0 a f(b) > 0 tak potom musí existovat f(x) = 0.

Tudiž mám právdu.

Mě se jedná o to pokud si vyberu podmnožinu $\langle -1, 1 \rangle$ z $Df = \mathbb{R} - \{0\}$ tak je funkce v bodě x = 0 nespojitá. Je tedy správné si zvolit interval $\langle -1, 1\rangle$ podle mě není interval $\langle -1, 1\rangle$ podmnožinou $\mathbb{R}-\{0\}$

byk7 · 20. 10. 2015 20:35

↑ Hax:

Ten Tvůj příspěvek mi přijde nesrozumitelný.

"Pokud to chápu dobře, tak pokud je funkce spojitá tak a f(a) < 0 a f(b) > 0 tak potom musí existovat f(x) = 0."
Pouze za předpokladu, že je funkce na celém intervalu [a,b] spojitá.

"Tudiž mám právdu."
V čem?

Jinak samozřejmě $\langle -1, 1 \rangle\not\subset\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , proto ten tvůj příklad s '1/x' nefunguje.

Hax · 20. 10. 2015 20:45

↑ byk7:

Aha už se na to dívam špatně jsem to zformuloval.

Otazka je taková.

Jestliže funkční hodnota v f(a)>0 a v f(b) < 0, pak rovnice f(x) = 0 má na intervalu $\langle a, b \rangle \subset Df$ alespoň jedno řešení. Tato věta je nepravdivá.

Proč neplatí?

Bati · 20. 10. 2015 20:49 — Editoval Bati (20. 10. 2015 20:52)

↑ Hax:
Protože

Ten tvůj příklad s 1/x by samozřejmě taky fungoval, kdybys tu funkci nějak dodefinoval v nule.

Hax · 20. 10. 2015 20:55

↑ Bati:

Zdravím,

funkce sgn x je přece nespojitá v bodě 0 jak se ten příklad liší od 1/x. Má nespojitost prvního druhu pokud se nepletu.

Mě nenapdá funkce, kterou bych nemusel zadat "vidličkou" bych tahle věta neplatila.

Bati · 20. 10. 2015 21:00

↑ Hax:
Však už v prvním příspěvku jsem říkal, že pokud ta funkce má být spojitá, pak to platí, tj. protipříklad neexistuje. To, jestli je nějaká funkce definovaná vidličkou nebo ne, je naprosto jedno.

Hax · 20. 10. 2015 21:02

↑ Bati:

Díky,

už je mi to jasné.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2015 19:30

Protipříklad

#2 20. 10. 2015 19:33

Re: Protipříklad

#3 20. 10. 2015 19:50

Re: Protipříklad

#4 20. 10. 2015 20:35

Re: Protipříklad

#5 20. 10. 2015 20:45

Re: Protipříklad

#6 20. 10. 2015 20:49 — Editoval Bati (20. 10. 2015 20:52)

Re: Protipříklad

#7 20. 10. 2015 20:55

Re: Protipříklad

#8 20. 10. 2015 21:00

Re: Protipříklad

#9 20. 10. 2015 21:02

Re: Protipříklad

Zápatí