Matematické Fórum

kolejo · 18. 10. 2015 18:32

Dobrý večer přeji,
mám tu takový problém, mám něco dokázat o řádu prvku, ale pomocí nečeho konkrétního:
Nechť $s\in \mathbb{Z}$ je zvoleno tak, že $[s]_p$ je generátor grupy $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ . Užitím homomorfismu okruhů $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ odvoďte, že řád prvku $[s]_{p^n}$ v grupě $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}$ je dělitelný číslem $p-1$ .

Vím, že $s^{p-1}\equiv 1 \text{ (mod p)}$ .
Dále grupa $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}$ má řád $\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}=(p-1)\cdot p^{n-1}$ (to phi je eulerova funkce).
No a generátor má jít na generátor, takže ten jediný homomorfismus mezi dvěma grupami, který není označený, asi funguje takto:
$[s]_{p^n}\mapsto[s]_p$
Je tedy $s$ řádu $(p-1)\cdot p^{n-1}$ ? a tedy dělitelný $p-1$ . Rozumím tomu správně?

Díky za radu.
kolejo

OndrasV · 19. 10. 2015 20:02

↑ kolejo: Asi ano, tak se obvykle důkazy dělávají.

kolejo · 19. 10. 2015 20:14

↑ OndrasV:
Jó, tak dík, nechám to tak. Označím za vyřešené.

vanok · 19. 10. 2015 23:58

Pozdravujem.
↑ kolejo:
Co pises vysie neplati vseobecne, napr. pre p=2, a n>2 tvoja grupa nie je cyklicka.
Mozes upresnit o co ti presne ide.

kolejo · 20. 10. 2015 22:48

↑ vanok:
Dobrý večer,
no ano, to je vlastně pravda, já zapomněl dodat ten předpoklad, že uvažujeme p liché prvočíslo. Pro p=2 tomu rozumím.
Jde o část zadání domácího úkolu, kde jsme měli zpracovat něco pro p liché prvočíslo a zvlášť případ p=2.

vanok · 20. 10. 2015 22:56

Ahoj ↑ kolejo:,
Vyborne. Ide o zaujimavu tematiku. Moze vyustit, napr. na vysetreni automorfismov grup Z/nZ.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2015 18:32

grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

#2 19. 10. 2015 20:02

Re: grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

#3 19. 10. 2015 20:14

Re: grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

#4 19. 10. 2015 23:58

Re: grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

#5 20. 10. 2015 22:48

Re: grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

#6 20. 10. 2015 22:56

Re: grupa Z_p^n s křížkem, řád prvku

Zápatí