Matematické Fórum

undisputed · 24. 10. 2015 13:36

Mám takýto rad:
$\sum_{n=4}^{\infty }\frac{n-2}{(n+1)!}$

Ako mám vôbec začať? Wolfram hlási takýto výsledok.

Brano · 24. 10. 2015 14:17 — Editoval Brano (24. 10. 2015 14:17)

$\sum_{n=4}^{\infty }\frac{n-2}{(n+1)!}=\sum_{n=4}^{\infty }\frac{n+1-3}{(n+1)!}=\sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{n!}-3\sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{(n+1)!}=\sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{n!}-3\sum_{n=5}^{\infty }\frac{1}{n!}=(*)$
teraz si treba uvedomit, ze
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=e$ a teda
$(*)=\left(e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)-3\left(e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{24}\right)=\frac{131}{24}-2e$

undisputed · 24. 10. 2015 15:07

↑ Brano:
Aha, vďaka, môžem ešte poprosiť o vysvetlenie toho posledného výrazu?
$(*)=\left(e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)-3\left(e-1-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{24}\right)=\frac{131}{24}-2e$

Keď platí toto:
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=e$

Tak ako dostanem také hodnoty v tej zátvorke? Ak si tam dosadím 0,1,2,3,4 tak mi tam určite nevýjde 2x -1.

Vďaka

Brano · 24. 10. 2015 16:03 — Editoval Brano (24. 10. 2015 16:04)

urcite vyjde :-)
0!=1 aj 1!=1

undisputed · 24. 10. 2015 16:08

Keď tam dosadím
n=0 => $e$
n=1 => $1$
n=2 => $\frac{1}{2}$
n=3 => $\frac{1}{6}$
n=4 => $\frac{1}{24}$

Čo je teda:
$\left(e-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{24}\right)$

O ten jeden člen mi to nejak uniká.

Brano · 24. 10. 2015 16:43 — Editoval Brano (24. 10. 2015 16:50)

↑ undisputed:
to mas trochu popletene
ten symbol $\sum$ znamena sucet pricom to ciselko dole je index od ktoreho zacnes scitovat, teda
$\sum_{n=0}^\infty f(n)$ znamena $f(0)+f(1)+f(2)+...$ alebo
$\sum_{n=3}^\infty f(n)$ znamena $f(3)+f(4)+f(5)+...$ cize
$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...$
a $e$ je ten vysledny sucet