Matematické Fórum

Sherlock

$r_{1},r_{2}\in \mathbb{R}, q\in \mathbb{Q}$

Uvažujme pouze případ $0<r_{1}<r_{2}<1$ (ostatní případy jsou odvoditelné/zřejmé)

Označme posloupnosti udávájící desetinný rozvoj čísel $r_{1},r_{2},q$ jako $a,b,c$

tedy:
$r_{1}=0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}...$
$r_{2}=0.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}...$

A teď nadefinuji pravidla, podle kterých sestrojíme $c$ :

(1) Pokud $a_{k}=b_{k}$ (pro nějaké k), potom $a_{k}=b_{k}=c_{k}$ . Na začátku předpokládáme, že se čísla $r_{1},r_{2}$ nerovnají, proto neexistuje nekonečný počet $a_{k},b_{k}$ , které by splňovaly tuhle podmínku

(2) Pokud je $a_{k}$ o 2 a více menší než $b_{k}$ , potom $c_{k}\in (a_{k},b_{k})$ (libovolně) a platí že $c_{m}=0,\forall m>k$ (tudíž je hned evidentní že $q$ je racionální)

(3) Pokud je $a_{k}$ o 1 menší než $b_{k}$ volme $c_{k}=a_{k}$ .

(a) Potom zvolme $c_{k+1}>a_{k+1}$ a všechna nadcházející $c_{m}=0$ .

(b) Pokud $a_{k+1}=9$ , volme $c_{k+1}=9$ a jdeme na $k+2$ a aplikujeme (a)

Sestrojování v praxi u 2 ošklivých čísel (nahoře a dole jsou $r_{1},r_{2}$

0.22222299992226565478876...

0.22222299993

0.22222300000008486464655113...

Tímto jsem nějakým způsobem ukázal, že mezi 2 odlišnými čísly s nekonečným desetinným rozvojem lze najít číslo s konečným desetinným rozvojem. Teď by mě zajímalo, co je z formálního hlediska na tomto "důkazu" špatně a proč se nedá jako plnohodnotný důkaz použít?

Bati · 25. 10. 2015 00:46 — Editoval Bati (25. 10. 2015 00:53)

Ahoj ↑ Sherlock:.
Pokud už znáš desítkový zápis, tj. že pro každé $x\geq0$ existuje $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}\subset\{0,1,2,\ldots,9\}^{\mathbb{N}}$ tak, že $x=\sum_{n=0}^{\infty}x_n10^{-n}$ , pak je důkaz tvého tvrzení plyne triviálně z definice limity (částečné součty $\sum_{n=1}^Nx_n10^{-n}$ tvoří konvergentní posloupnost racionálních čísel). To je podstatou tvého důkazu.

Je zřejmé, že bez desítkového zápisu reálných čísel je třeba postupovat jinak.

Sherlock · 25. 10. 2015 00:52

A proč nemůžu využít ten desítkový zápis? :-)

Bati · 25. 10. 2015 00:53

↑ Sherlock:
Nevím, zkoušel jsi ho dokázat?

Sherlock · 25. 10. 2015 01:05

↑ Bati:

zítra zkusím

vanok · 25. 10. 2015 02:13

Ahoj
Tu mas dalsi dokaz http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=83653

V tvojom konstruktivnom dokaze skus dat do popredia vsetki pouzite vlasnosti...
Tiez vyries problem ze zapis cisla nie je jednoznacny.

Sherlock

Tiez vyries problem ze zapis cisla nie je jednoznacny.

Ale desetinný zápis čísel je jednoznačný :-)

Co v "důkazu" předpokládám:

(I) Pokud má číslo konečný desetinný rozvoj, je racionální.

(II) Pokud jsou 2 čísla různá, můžou mít shodný pouze konečný počet číslic.

(III) Existují čísla s nekonečným desetinným rozvojem. Pokud je číslo iracionální, pak má nekonečný desetinný rozvoj.

Vlastně tam na iracionálních číslech nezáleží, on se vztahuje na všechna čísla s nekonečným desetinným rozvojem (jak jsem psal na začátku)

vanok · 25. 10. 2015 12:45

Ahoj
Poznamky
Pripady ako 0,499999...=0,5
Vlasnosti <
Ktore z axiom telesa R su pouzite?
...

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2015 23:53 — Editoval Sherlock (25. 10. 2015 00:06)

Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#2 25. 10. 2015 00:46 — Editoval Bati (25. 10. 2015 00:53)

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#3 25. 10. 2015 00:52

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#4 25. 10. 2015 00:53

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#5 25. 10. 2015 01:05

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#6 25. 10. 2015 02:13

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#7 25. 10. 2015 08:38 — Editoval Sherlock (25. 10. 2015 08:51)

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

#8 25. 10. 2015 12:45

Re: Mezi každými 2 odlišnými reálnými čísly je racionální číslo

Zápatí