Matematické Fórum

rbusa · 25. 10. 2015 13:10

Ahoj, mám před sebou tento příklad:

Určete monotonii posloupnosti $a_n=\frac{n^2}{2^n}$ .

Předpokládal jsem, že posloupnost bude klesající (i když tomu tak ve skutečnosti není).
Tudíž: $\frac{n^2}{2^n} > \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}$
Vyšla mi nerovnice $\frac{n^2-2n-1}{2^{n+1}} > 0$ . Jak z ní lze určit dále monotonii posloupnosti?

Pokud znáte lepší postup, nebráním se mu.

Díky. :)

Sherlock

A co když funkce zezačátku roste, a pro nějaké větší $n$ začne klesat? (ono to takto opravdu je, pro dostatečně velká $n$ je exponenciální funkce vždy větší jak mocninná)

EDIT:
Vem si třeba že pro $n=3$ je $n^{2}>2^{n}$ , ale pro $n=10$ už platí opak :)

doporučuju vypsat si prvních 5,6 členů (nebo víc) a porovnat

rbusa · 25. 10. 2015 13:33

↑ Sherlock:

Vidím, je rostoucí a zároveň klesající. Ale jak to dokázat pro všechna $n$ (bez znalosti jednotlivých členů)?

Sherlock · 25. 10. 2015 13:36

↑ rbusa:

editoval jsem ten první příspěvek, tak se mrkni :D

+funkce nemůže být "zároveň rostoucí a klesající", to nedává smysl. používá se výraz "rostoucí na intervalu .." a "klesající na intervalu .." (a pokud funkce někde roste a jinde klesá, nedá se o ní obecně říct, že je "rostoucí" nebo "klesající")

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2015 13:10

Monotonie posloupnosti

#2 25. 10. 2015 13:30 — Editoval Sherlock (25. 10. 2015 13:34)

Re: Monotonie posloupnosti

#3 25. 10. 2015 13:33

Re: Monotonie posloupnosti

#4 25. 10. 2015 13:36

Re: Monotonie posloupnosti

Zápatí