Matematické Fórum

k.niccy@seznam.cz · 04. 04. 2009 20:01

Ahoj,prosím o pomoc s tímto příkladem.
Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF.Dokažte rovnost:
Vektor AB+Vektor AC+Vektor AD+Vektor AE+Vektor AF=3Vektor AD
Děkuji moc.

marnes · 04. 04. 2009 20:41

↑ k.niccy@seznam.cz:
1) Náčrtek 6 úhelníku A je nejniž
2) na pořadí sčítání nezáleží
3) Součet AB AF je AS, kde s je střed 6 úhelníka - plyne z toho, že ABSF je rovnoběžník - Délka AS je polovina AD
4) Spojnice EC protíná spojnici AD v bodě K - opět z toho, že se jedná o rovnostranné trojúhelníky, bod K leží ve 3/4 vzdálenosti AD
5) Součet AC a AE - Vytvořím rovnoběžník ACLE - L leží na polopčímce AD. Trojúhelníky ACE a CEL jsou shodné - vzdálenost KL je 3/4 AD
6) AK + KL=3/4 AD+ 3/4 AD=3/2 AD
7) AS + AL + AD = 1/2 AD + 3/2 AD + AD = 3 AD cbd

lukaszh

↑ k.niccy@seznam.cz:

Iný dôkaz (trocha viac goniometrie a analytiky):

Zvolím si šesťuholník takto v $\mathbb{R}^2$ :

Smerový vektor vektora AB je podľa goniometrie $$\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}$$ , pričom smerový vektor AF má opačnú len x-ovú súradnicu, preto $$-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}$$ . Keďže toto sú len smerové vektory, vektory AB, AF budú nejakým ich násobkom, teda
$\vec{AB}=k\cdot$\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}$\nl\vec{AF}=k\cdot$-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}$$
Koeficient k je pritom dĺžka jednej strany šesťuholníka. Teraz vyjadrím vektory AC, AE tak isto z goniometrie, pričom teraz ich smerové vektory sú $$\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$,$-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$$ . Ostáva vypočítať ich násobok, ktorý je dĺžkou vektora AC, resp. AE. To vypočítam jednoducho z Pythagorovej vety.
$x^2+\frac{k^2}{4}=k^2\Rightarrow\boxed{x=\frac{k\sqrt{3}}{2}}$
Koeficient bude dvojnásobok tejto dĺžky (viď obrázok). Teda vektory
$\vec{AC}=k\sqrt{3}$\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$\nl\vec{AE}=k\sqrt{3}$-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Posledný vektor je najjednoduchší, pretože jeho smer je (0,1) pričom dĺžka je 2k, preto $\vec{AD}=2k(0,1)$ .
Teraz je už koniec jednoduchý.