Matematické Fórum

zabijak008 · 28. 10. 2015 10:22

Dobrý den, zrovna řeším tenhle příklad a nějak se nemůžu dostat k řešení.

Jsou dány dvě aritmetické posloupnosti, obě mají n členů, jejich první členy se rovnají. Součet prvních n členů první posloupnosti je 207, součet prvních n členů druhé posloupnosti je 387. Určete počet členů těchto posloupností, první člen a diferenci každé z nich.

Posloupnosti tedy mají stejné n a a1, tudíž rovnice budou vypadat takto:

$s_{n}=\frac{n}{2}\cdot (a1+(n-1)d1)$
$s_{n}=\frac{n}{2}\cdot (a1+(n-1)d2)$
_________________________________

$\frac{207}{a1+(n-1)d1}=\frac{387}{a1+(n-1)d2}$
po úpravě
$180a1=207d2(n-1)+387d1(n-1)$

Mám tam pořád moc neznámých a nemůžu se jich zbavit. Děkuji za každou radu.

Al1 · 28. 10. 2015 11:40 — Editoval Al1 (28. 10. 2015 11:50)

↑ zabijak008:

Zdravím,
oprav si oba vztahy pro součet prvních n-členů AP. Obecně platí
$s_{n}=\frac{n}{2}\cdot (a_{1}+a_{n})$

Do obou rovnic pak dosaď hodnotu součtu, zbav se zlomku a obě rovnice od sebe odečti. Nalevo budeš mít 360 a napravo výraz rozlož na součin. A teď hledej rozklad 360 na součin a porovnej obě strany rovnice

zabijak008

↑ Al1:

Vychází mi tedy:
$360=n(a1+an2)-n(a1+an1)$
$360=n(an2-an1)$

Al1 · 28. 10. 2015 12:06 — Editoval Al1 (28. 10. 2015 12:07)

↑ zabijak008:

Já jsem to řešil takto

$207=\frac{n}{2}\cdot (2a_{1}+(n-1)d_{1})\nl 387=\frac{n}{2}\cdot (2a_{1}+(n-1)d_{2})$

Po odečtení
$180=\frac{n}{2}\bigg[ \big(2a_{1}+(n-1)d_{2}\big)-\big(2a_{1}+(n-1)d_{1}\big)\bigg]$
Po úpravě

$360=n(n-1)(d_{2}-d_{1})$

zabijak008 · 28. 10. 2015 12:33

↑ Al1:

Aha, už to vidím, to je bezpochyby pravda, ale vůbec netuším jak dál. Jedna rovnice a tři neznámé.

Al1 · 28. 10. 2015 12:35

↑ zabijak008:

Zkus rozložit 360 na součin takových tří činitelů, z nichž dva jsou po sobě jdoucí ( to je n(n-1))

zabijak008

↑ Al1:

Předpokládám, že to bude vycházet v celých číslech, takže možnosti jsou:

1*2*180 n=2
2*3*60 n=3
3*4*30 n=4
4*5*18 n=5
5*6*12 n=6
8*9*5 n=9
9*10*4 n=10

A teď bude potřeba vyzkoušet to pro každý případ zvlášť?

Cheop · 29. 10. 2015 08:52

↑ zabijak008:
Ano je třeba to vyzkoušet pro všechny případy.
Mě vychází ( pro celá čísla)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Al1 · 29. 10. 2015 10:59

↑ zabijak008:

Rozklady na součin musí být s celočíselnými činiteli, neboť $n\in \mathbb{N}$ , zde dokonce $n>1$ .

Pro každé z tvých řešení pak exituje nekonečně mnoho takových posloupností

$n=2\nl 207=2a_{1}+d_{1}\nl 387=2a_{1}+d_{2}$

můžeme mít např.
$a_{1}=1, d_{1}=205$ , členy posloupnosti jsou 1; 206
$a_{1}=1, d_{2}=385$ , členy posloupnosti jsou 1; 386

nebo

$a_{1}=2, d_{1}=203$ , členy posloupnosti jsou 2; 205
$a_{1}=2, d_{2}=383$ , členy posloupnosti jsou 2; 385

atd.

zabijak008 · 29. 10. 2015 15:38

↑ Al1:

Takže pokud se nepletu, tak výsledek bude znít:

Pro $n=\{2;3;4;5;6;9;10\}$ existuje nekonečně mnoho posloupností. Ať dosadíme za a1 nebo d cokoliv, výsledek bude vždy pravdivý. Pro ostatní n neexistuje žádná posloupnost.

Snad jsem to pochopil dobře, mnohokrát děkuji za všechny rady.

Al1 · 29. 10. 2015 15:49

↑ zabijak008:

Já bych nepsal

Ať dosadíme za a1 nebo d cokoliv, výsledek bude vždy pravdivý.

To je třeba volit podle vztahu
$207=\frac{n}{2}\cdot (2a_{1}+(n-1)d_{1})\nl 387=\frac{n}{2}\cdot (2a_{1}+(n-1)d_{2})$

Doplníš n a podle toho dostaneš dvě rovnice pro tři neznámé. Jednu neznámou zvolíš - třeba $a_{1}$ - a zbylé dvě se musí dopočítat

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2015 10:22

Aritmetické posloupnosti

#2 28. 10. 2015 11:40 — Editoval Al1 (28. 10. 2015 11:50)

Re: Aritmetické posloupnosti

#3 28. 10. 2015 11:59 — Editoval zabijak008 (28. 10. 2015 12:04)

Re: Aritmetické posloupnosti

#4 28. 10. 2015 12:06 — Editoval Al1 (28. 10. 2015 12:07)

Re: Aritmetické posloupnosti

#5 28. 10. 2015 12:33

Re: Aritmetické posloupnosti

#6 28. 10. 2015 12:35

Re: Aritmetické posloupnosti

#7 28. 10. 2015 12:47 — Editoval zabijak008 (28. 10. 2015 12:48)

Re: Aritmetické posloupnosti

#8 29. 10. 2015 08:52

Re: Aritmetické posloupnosti

#9 29. 10. 2015 10:59

Re: Aritmetické posloupnosti

#10 29. 10. 2015 15:38

Re: Aritmetické posloupnosti

#11 29. 10. 2015 15:49

Re: Aritmetické posloupnosti

Zápatí