Matematické Fórum

xstudentíkx

Ahoj,

řeším jeden důkaz a zasekla jsem při dokazování neutrálního prvku. Prosím tedy někoho o radu.

Uvažujme množinu kladných reálných čísel $\mathbb{R}^{+}$ s operacemi $\oplus$ a $\odot$
definovanými takto:
$\forall u, v \in \mathbb{R}^{+} : u \oplus v = uv$

$\forall u \in \mathbb{R}^{+} \forall \alpha \in \mathbb{R} : \alpha \odot u = u^{\alpha}$

Dokažte, že $(\mathbb{R}^{+} ,\oplus , \mathbb{R} , \odot )$ tvoří vektorový prostor.

Nevím jak dokázat třetí axiom $\exists o \in V \forall u \in V: u +o = u$
o = nulový vektor.
$u \oplus o = u*o = (u_{1} ,u_{2},...,u_{n}) *(0,0,...,0) = (0,0,...,0)=0$ , což nesplňuje axiom. Je mi jasné, že pokud dám o=1, tak to splněné bude, jenže to už zase nebude nulový vektor...

misaH · 28. 10. 2015 17:52 — Editoval misaH (28. 10. 2015 17:54)

↑ xstudentíkx:

Hľadáš neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie.

Musí teda platiť $u \oplus o = u*o = u$ . Nič viac ani menej. Ak ho nájdeš, je to on.

Nuly s tým nič nemajú.

xstudentíkx

↑ misaH:

Takže to mám brát tak, že mám najít čistě neutrální prvek, vzhledem k tomu, že o je vektor, se bude jednat o
$o=(1,1,...,1)$ ?

Eratosthenes · 28. 10. 2015 18:21

ahoj, ↑ xstudentíkx:

>> Nulový vektor o je zvláštním případem vektoru...

to ano,

>> který lze zapsat jako uspořádanou n-tici $(0,0,...,0)$

to je bohužel špatně, protože to neplatí vždy - zrovna v našem případě ne (jednak nula není kladná, takže do našeho prostoru vůbec nepatří) a jednak - vektor v tomto případě není n-tice čísel, ale číslo jedno jediné. Rozhodující je, jak je nulový vektor definován, tj. pro každé u je $u\oplus \vec 0 =u$ . V našem případě je tedy $\vec 0 = 1$

>> Norma nulového vektoru je rovna nule.

To není (tak docela) pravda. Ve vektorovém prostoru nemusí být norma vůbec definována (viz náš případ). Zde ani jeden vektor žádnou normu nemá.

xstudentíkx · 28. 10. 2015 18:32

↑ Eratosthenes:

Následně jsem si některé body uvědomila sama a příspěvek editovala. Rozhodně děkuji za objasnění, tedy definice z wikipedie není všeobecně správná. Ještě přesně nerozumím tomu, proč je v tomto případě vektor jen jedno jediné číslo?

misaH · 28. 10. 2015 18:57 — Editoval misaH (28. 10. 2015 18:58)

Lebo jeho prvky sú reálne čísla (R+), máš to v definícii.

xstudentíkx · 28. 10. 2015 19:35

↑ misaH:

Jo takto :) Děkuji už je mi to jasné

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2015 17:39 — Editoval xstudentíkx (28. 10. 2015 17:45)

Vektorový prostor

#2 28. 10. 2015 17:52 — Editoval misaH (28. 10. 2015 17:54)

Re: Vektorový prostor

#3 28. 10. 2015 18:05 — Editoval xstudentíkx (28. 10. 2015 18:13)

Re: Vektorový prostor

#4 28. 10. 2015 18:21

Re: Vektorový prostor

#5 28. 10. 2015 18:32

Re: Vektorový prostor

#6 28. 10. 2015 18:57 — Editoval misaH (28. 10. 2015 18:58)

Re: Vektorový prostor

#7 28. 10. 2015 19:35

Re: Vektorový prostor

Zápatí