Matematické Fórum

rakem · 05. 04. 2009 12:07

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto integrálem.Díky
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csqrt%7Bx%5E2%2B6x%2B10%20%7D$

lukaszh · 05. 04. 2009 13:01

↑ rakem:
Ten integrál diverguje, stačí si uvedomiť, že limita tej funkcie pre $x\to\infty$ je nekonečno.

rakem · 05. 04. 2009 14:49 — Editoval rakem (05. 04. 2009 14:49)

↑ lukaszh:Takže se tato fce dál neintegruje, ale rovnou se napíše nekonečno jako výsledek?

jendula11 · 05. 04. 2009 20:54

↑ rakem:
pokud by jsi chtěl tohleto integrovat pak by mě napadly asi eulerovy substituce

Marian · 06. 04. 2009 07:53

↑ rakem:
Pokud tušíme, že integrál diverguje (ve smyslu divergence k +oo), snažíme se o odhad, který naše přesvědčení potvrdí. Je ale vidět velice jasně, že platí
$x<\sqrt{x^2+6x+10}\qquad\Rightarrow\qquad\int_{0}^{\infty}x\,\mathrm{d}x<\int_{0}^{\infty}\sqrt{x^2+6x+10}\,\mathrm{d}x.$
Současně lze ale snadno nahlédnout, že platí
$\int_{0}^{\infty}x\,\mathrm{d}x=+\infty .$
Odtud a z vlastností nevlastního prvku $+\infty$ je jasné, že také
$\int_{0}^{\infty}\sqrt{x^2+6x+10}\,\mathrm{d}x=+\infty .$

Integrovat pak není třeba. U studia konvergence/divergence nevlastních integrálů (řekněme pro jednoduchost vlivem meze) nejde ani tak o exaktní nalezení primitivní funkce, ale o nalezení odhadu. Řešení pak bývá zpravidlá kratší a elegantnější. Na druhou stranu, pokud Vám jde o to studovat takové integrály blíže, bude zájemce poutat i otázka, jakým způsobem by se dala ona konvergence/dovergence lépe charakterizovat. Pak by snad mohlo mít význam i integrovat původní funkci.