Matematické Fórum

Ilias · 05. 04. 2009 12:23

Zdravím všechny,

mám příklady a nevím co s ním i když vím, že to bude něco velmi jednoduchého:

1)
Na přímce, která prochází body A = [1, 3] a B = [2, 8] leží bod

a) [-2, -11], b) [-1/5, -3], c) [3, 14], d) [4, 19], e) žádným

2)
Uvažujme trojúhelník v rovině o vrcholech

A = [3, -4] a B = [2, -1] C = [-1, -2]

Poloměr krůžnice opsané tomuto trojúhelníku je roven číslu:

a) odmocnina(5), b) odmocnina(10), c) odmocnina(10)/2, d) odmocnina(5)/2, e) žádným

Byl bych moc rád, kdyby mi s nima někdo pomohl, děkuju předem

halogan · 05. 04. 2009 12:40

1)

napiš si obecnou rovnici té přímky. Pak dosazuj jeden bod po druhém.

2)

a) složitý postup: udělat dvě osy stran, a vzdálenost jejich průsečíku od jednoho z vrcholů
b) jednoduchý postup: najít vzorec (měl by nějaký být)

joker · 05. 04. 2009 13:37

↑ Ilias:
Zravím,

add2) Začal bych ověřením, zda trojúhelník není pravoúhlý a on skutečně překvapivě je. Pak už nění žádný problém spočítat poloměr kružnice opsané. Ale pokud by pravoúhlý nebyl, tak bude skutečně nejlepší použít obecnou rovnici kružnice $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ , dosazením tří znamých bodů získáš soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Po jejim vyřešení si rovnici kružnice přepíšeš na středový tvar, z kterého zjistíš poloměr.

*** slovo překvapivě jsem použil, protože předpokládám, že se jedná o příklad z přijímacích testů na VŠE, kde byl zatím vždycky zadán právě trojúhelník pravoúhlý.

Ilias · 05. 04. 2009 13:37 — Editoval Ilias (05. 04. 2009 13:38)

Edit: nao tázku odpověděl joker

Ilias · 05. 04. 2009 13:56

Bohužel i přes fakt, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník nevím jak to spočítat:(

joker · 05. 04. 2009 14:47

↑ Ilias:
Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku se nazývá Thaletova kružnice. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony trojúhelníka. Tedy v našem případě je přepona $c=\sqrt{20}$ z toho polovina $\frac{\sqrt{20}}{2}$ , po usměrnění $\sqrt{5}$ .

Ilias · 05. 04. 2009 15:59

To jsem si všechno vyhledal, problém spíš je, že nevím zjistit, že c = odm(20)

joker · 05. 04. 2009 16:44

$A=[3;-4]$
$C=[-1;-2]$

$|AC|=\sqrt{(c_1-a_1)^2+(c_2-a_2)^2}$

$|AC|=\sqrt{(-1-3)^2+(-2-(-4))^2}$

$|AC|=\sqrt{20}$

Ilias · 05. 04. 2009 19:47

Díky za trpělivost, chápu, děkuju

joker · 05. 04. 2009 20:08

↑ Ilias:
Nemáš vůbec zač.

Kondr · 05. 04. 2009 20:36

Ještě pro poloměr opsané kružnice jde použít sinová věta:
$2R=\frac{|AB|}{\sin\gamma}$
využijeme-li navíc identity pro skalární součin $\vec{CA}\cdot\vec{CB}=|CA|\cdot|CB|\cdot \sin\gamma$
máme hned
$2R=\frac{|AB|\cdot|AC|\cdot|BC|}{\vec{CA}\cdot\vec{CB}}$

Katarina · 26. 05. 2009 18:22

↑ halogan:

u prvního příkladu jsem postupovala podle výše uvedené rady a a dosazovala jsem do obecné rovnice postupně oba body a pokaždé mi vyšlo c=2. Co to ale znamená, jak dál zjistím, která možnost je správná??

Chrpa · 26. 05. 2009 18:37

↑ Ilias:
Př.1)
Rovnice má tvar:
y = 5x -2
Dosazováním Jednotlivých bodů do rovnice mně vychází: odpověď b)
-3 = 5*(-1/5)-2
-3 = -3 platí.
Ostatní nevzchází.
Podle mého tedy za b)

xxsawer · 26. 05. 2009 18:38

↑ Katarina:
Tak to nebylo myšlený :)
Máš body A = [1, 3] a B = [2, 8]
Směrový vektor přímky je teda (1,5) to si převedeš na normálový vektor, což je třeba (-5,1), z toho dostáváš:
-5x+y+c = 0
Tohle ještě ale neni obecná rovnice tý přímky :) musíš zjistit hodnotu toho parametru c a to uděláš tak, že do týhle rovnice dosadíš nějakej bod, kterym ta přímka prochází, takže tam hodíš souřadnice Ačka nebo Bčka a vyjde ti, že c = 2 jak píšeš.
Obecná rovnice tý přímky je teda:
-5x+y+2=0

A do týhle rovnice teprv dosazuješ ty body:
a) [-2, -11], b) [-1/5, -3], c) [3, 14], d) [4, 19]

xxsawer

↑ gadgetka:
ale notak gadgetko, máš tam chybu :)

No než sem to odeslal tak to bylo fuč :)

gadgetka · 26. 05. 2009 18:44

Na přímce, která prochází body A = [1, 3] a B = [2, 8] leží bod

a) [-2, -11], b) [-1/5, -3], c) [3, 14], d) [4, 19], e) žádným

$\vec{s_p}=B-A=(1,5)\nlp:x=x_A+t\nly=y_A+5t\nlA\in p\Longleftrightarrow x=1+t\qqua y=3+5t\qquad t\in R$

$x=1+t\qquad /\cdot (-5)\nly=3+5t\nl-----------\nl-5x+y=-2\nl5x-y-2=0$

a)
-10+11-2=-1
b)
-1+3-2=0
c)
15-14-2=-1
d)
20-19-2=-1
e)
žádný

b je správně

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2009 12:23

bod na přímce

#2 05. 04. 2009 12:40

Re: bod na přímce

#3 05. 04. 2009 13:37

Re: bod na přímce

#4 05. 04. 2009 13:37 — Editoval Ilias (05. 04. 2009 13:38)

Re: bod na přímce

#5 05. 04. 2009 13:56

Re: bod na přímce

#6 05. 04. 2009 14:47

Re: bod na přímce

#7 05. 04. 2009 15:59

Re: bod na přímce

#8 05. 04. 2009 16:44

Re: bod na přímce

#9 05. 04. 2009 19:47

Re: bod na přímce

#10 05. 04. 2009 20:08

Re: bod na přímce

#11 05. 04. 2009 20:36

Re: bod na přímce

#12 26. 05. 2009 18:22

Re: bod na přímce

#13 26. 05. 2009 18:37

Re: bod na přímce

#14 26. 05. 2009 18:38

Re: bod na přímce

#15 26. 05. 2009 18:42 — Editoval xxsawer (26. 05. 2009 18:42)

Re: bod na přímce

#16 26. 05. 2009 18:44

Re: bod na přímce

Zápatí