Matematické Fórum

Katsushiro

Ahoj,

řeším lineární parciální diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Dokážu získat řešení homogenní rovnice, ale dost se ztrácím v úpravách při získávání partikulárního řešení.

Zadání:
$2u_x+u_y-u=y$

Řeším metodou charakteristických souřadnic:
$\xi = bx- ay = x - 2y$
$\Rightarrow x = \xi + 2y$
$\tau = y \Rightarrow y = \tau$

Pomocí té získám defacto obyčejnou diferenciální rovnici $u_\tau - u = \tau$ .
Nejprve řeším její příslušnou homogenní rovnici $H: u_\tau - u = 0$ :
$\frac{u_\tau}{u} = 1$

Tady začíná první problém - chápu, že $u_\tau$ značí derivaci, podobně jako třeba $dy$ . Jak mám ale integrovat pravou stranu rovnice?

Mechanicky vím, jak to udělat, ale nechápu, proč se 1ka integruje na $\tau$ a integrační "konstanta" resp. funkce má jako parametr $\xi$ . Každopádně, pokračuji takto:
$ln|u| = \tau +f(\xi)$
$e^{ln|u|} = e^{\tau + f(\xi)}$
$u_h = f(\xi) \cdot e^\tau$

Tím jsem získal řešení příslušné homogenní rovnice. Teď bych chtěl pomocí variace konstant získat i partikulární řešení, bohužel, netuším, jak výraz upravit, což je můj druhý problém. Můj zatím poslední kroky jsou tyto:
$P: (f(\xi) \cdot e^\tau)' - f(\xi) \cdot e^\tau = \tau$
$f'(\xi) \cdot e^\tau + f(\xi) \cdot e^\tau - f(\xi) \cdot e^\tau = \tau$
$f'(\xi) \cdot e^\tau = \tau$
$f'(\xi) = \frac{\tau}{e^\tau}$
$f(\xi) = ???$

Abych tedy shrnul svůj problém, není mi jasné, jak se pracuje s derivacemi a integrály pří výpočtu PDR, pokud mám integrovat obě strany rovnice atd. Dílčí znalosti, jako parciální derivace a integrace "podle proměnné" mám.

Velmi děkuji za všechny rady,
Katsu

Xellos · 28. 10. 2015 16:11

Nevies integrovat $xe^{-x}$ ? Je to jeden z ucebnicovych prikladov na per partes. Navyse ide o rovnicu so specialnou pravou stranou, pre tu vies ze aj riesenie nehomogennej rovnice bude exponenciala krat polynom.

Kazdopadne podovna rovnica je separabilna, staci ti ansatz $u=f(x)+g(y)$ a dostanes dvojicu ODR.

Katsushiro · 31. 10. 2015 18:34

↑ Xellos:
Ha, moc díky, nějak mi to prostě nedošlo :-)

Jinak během týdne doplním své řešení.

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2015 00:42 — Editoval Katsushiro (28. 10. 2015 00:51)

Parciální diferenciální rovnice - partikulární řešení

#2 28. 10. 2015 16:11

Re: Parciální diferenciální rovnice - partikulární řešení

#3 31. 10. 2015 18:34

Re: Parciální diferenciální rovnice - partikulární řešení

Zápatí