Matematické Fórum

Freedy · 31. 10. 2015 15:41

Dobrý den,

rád bych se zeptal na správnou formulaci při dokazování tohoto tvrzení a i menší pomoc.

Mám najít vztah, mezi dvěma omezenými (spojitost není podmínkou) funkcemi (z R do R)
$\sup_{x\in \mathbb{R}} \big(f(x)+g(x)\big)$ (stejné x) $\sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)+\sup_{x\in \mathbb{R}} g(x)$

Nemám problém s tím, když funkce f a g budou "podobné" v tom smyslu, že k supremu se budou blížit na stejném, libovolně malém intervalu. Pak by totiž šlo psát:
$\forall \varepsilon_1 >0, \exists x\in \mathbb{R}: f(x)>\sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)-\varepsilon_1$
$\forall \varepsilon_2 >0, \exists x\in \mathbb{R}: g(x)>\sup_{x\in \mathbb{R}} g(x)-\varepsilon_2$
Sečtením posledních dvou nerovností dostávám:
$\forall \varepsilon >0, \exists x\in \mathbb{R}: f(x)+g(x)>\sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)+\sup_{x\in \mathbb{R}} g(x)-\varepsilon$ . Platí tedy, že $\sup_{x\in \mathbb{R}} \big(f(x)+g(x)\big)=\sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)+\sup_{x\in \mathbb{R}} g(x)$ pro nabývání suprema na libovolně malém stejném intervalu.

Nicméně, jak nyní ukážu, že ten vztah má být "menší rovno" ?
Kdybych měl funkce třeba arctan(x) a -(arctan(x))?

Mohl bych to třeba ukázat sporem tak, že bych předpokládal, že se to rovná vždy a pak bych uvedl příklad třeba s těmi arkus tangensy?

Děkuji za nápovědu.
Freedy

Bati · 31. 10. 2015 19:44

Ahoj ↑ Freedy:.
Přijde mi, že to trochu komplikuješ. Platí
$\sup (f+g)(x)-\varepsilon <(f+g)(x_0) =f(x_0)+g(x_0) \leq\sup f(x)+\sup g(x)$ .
Limitním přechodem pak dostanu
$\sup (f+g)(x) \leq\sup f(x)+\sup g(x)$ .
Pokud dobře vidím, stačí předpokládat, že $f+g$ je omezená, ale pokud není, pak je to triviální, tzn., že nemusíš předpokládat nic.

Freedy · 31. 10. 2015 22:21

↑ Bati:
ahoj,

děkuji... Hned to vypadá snáz. Nenapadlo mě zvolit pevné x (což nechápu proč)
Tyhle techniky se mi budou určitě budou hodit u dalších příkladů. Zatím mi důkazové úlohy vůbec nejdou ://.

Jinak ano, funkce jsou ze zadání omezené.
Mám takovou podotázku ještě. Jak jsi v závěru zmínil neomezenost, tak potom by tam ten symbol nešel dát ne?
Chápu, že pro normální funkce by muselo stále platit $\sup(f+g)(x) \le \sup f(x) + \sup g(x)$ protože shora neomezená funkce by měla poté supremum +nekonečno. Nicméně, co kdybych měl dvě funkce:
$f(x)=\sqrt{-(x^2+1)}$ zde je $\sup f(x)=-\infty$
$g(x)=x$ zde je $\sup g(x)=+\infty$ takže výraz na pravé straně není definován.

Popřípadě jak jsi myslel, že nemusíme předpokládat nic? -.-

Stýv · 31. 10. 2015 22:38

$f(x)=\sqrt{-(x^2+1)}$ není reálná funkce

Freedy · 31. 10. 2015 22:41

Aha... Zkoušel jsem jen nějak napasovat f(x) na prázdnou množinu. Šlo by to tedy nějak jinak?
Mimochodem, proč to není reálná funkce. Zkrátka $D(f)=R(f) = \emptyset \subseteq \mathbb{R}$

Bati · 31. 10. 2015 23:24

↑ Freedy:
Pokud děláš suprema přes R, pak by tam ty funkce měly bejt taky definovaný ne? A pokud bys chtěl opravdu uvažovat takový nesmysly jako prázdný definiční obory, tak si tam můžeš přidat předpoklad, že pravá strana musí existovat, což není jinak vůbec omezující.

A k tomu důkazu..psal jsi, že volím pevné x, což není úplně pravda. Samotné x probíhá R, ale předpokládám, že jsi myslel x0. To je sice pevné, ale nevolím ho, protože nějak závisí na epsilon, které volím.

Freedy · 31. 10. 2015 23:28

Ano, špatně jsem se vyjádřil. Bral jsi, že existuje takové x, že je větší než supremum - epsilon, pro libovolně malé epsilon. A pak jsi ukázal, že f(x0) + g(x0) musí být nutně menší rovno než sup f(x) + sup g(x).
Tohle je v pořádku.

A vymýšlet nesmysly opravdu nemám zapotřebí. Jen jsem chtěl zkontrolovat jedinou možnost v R*, kdy by výraz napravo nebyl definován.

Freedy

Bati · 31. 10. 2015 23:33

↑ Freedy:
Pokud bys bral funkce z R* do R*, tak samozřejmě musíš vyloučit funkci $f\equiv -\infty$ .

To, že f(x0) + g(x0) je menší než součet jejich suprem jsem nijak neukazoval, to je zřejmý.

Freedy · 31. 10. 2015 23:46

↑ Bati:
to je pravda. To vychází z definice suprema.
$\forall x_1\in \mathbb{R}: f(x_1)\le \sup f(x)$
$\forall x_2\in \mathbb{R}: g(x_2)\le \sup g(x)$ sečtením pak
$\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}: f(x_1)+g(x_2)\le \sup f(x)+\sup g(x)$ a teď už stačí položit x1 = x2 = x0.

Teď se normálně za svoji původní otázku stydím -.- Asi se příště radši víc zamyslím.

Jinak dobrý postřeh s tím R*. Toto mě nenapadlo.
Nicméně opravdu nenajdu reálnou funkci, která by měla obor hodnot prázdnou množinu? (proč?)

Bati · 31. 10. 2015 23:51

Freedy napsal(a):
Nicméně opravdu nenajdu reálnou funkci, která by měla obor hodnot prázdnou množinu? (proč?)

Funkce je relace. Relace je množina. Takže ze stejného důvodu, proč se nezabýváme prázdnými množinami - jsou k ničemu.

Freedy · 01. 11. 2015 00:07

Mně náhodou přijde zajímavé u prázdné množiny to, že je to v podstatě jediná množina, kde platí:
$\inf \emptyset >\sup \emptyset$

Mimochodem, jak by to vypadalo se supremem u tý funkce, jak jsi psal v R* $f(x)=-\infty$ . Bylo by to rovněž $-\infty$ stejně jako infimum?

A nepřijde mi, že prázdné množiny jsou k ničemu. Je to speciální případ. Který se "většinou" musí vyšetřovat zvlášť.

Bati · 01. 11. 2015 00:14

↑ Freedy:
Bylo by to stejný jako pro každou jinou konstantní funkci.

Pokud se ti zdají prázdné množiny zajímavé, brát ti to nebudu, ale rozhodně o tom nebudu diskutovat, protože to by byla doslova diskuze o ničem.

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2015 15:41

důkaz supremum f(x) g(x)

#2 31. 10. 2015 19:44

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#3 31. 10. 2015 22:21

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#4 31. 10. 2015 22:38

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#5 31. 10. 2015 22:41

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#6 31. 10. 2015 23:24

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#7 31. 10. 2015 23:28

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#8 31. 10. 2015 23:33

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#9 31. 10. 2015 23:46

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#10 31. 10. 2015 23:51

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

Freedy napsal(a):

#11 01. 11. 2015 00:07

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

#12 01. 11. 2015 00:14

Re: důkaz supremum f(x) g(x)

Zápatí