Matematické Fórum

check_drummer · 05. 04. 2015 21:02

Ahoj,
vzhledem k úloze zde se nabízí obecnější pojetí problému:
Mějme obecně integrál $I:=\int_{x=1}^{\infty}{\frac{1}{x^{1+h(x)}}.dx}$ a hledejme, pro jakou co "nějvětší" funkci h tento integrál diverguje (resp. pro jakou co "nejmenší" funkci h tento integrál konverguje).
Např. pro h=0 integrál diverguje, ale pro h=d (d je libolné kladné číslo) integrál konverguje. Ovšem mezi těmito hodnotami se může nacházet celá řada funkcí h, pro které může být zajímavé zkoumat konvergenci (divergenci) I a hledat tu h v jistém smyslu extrémní. (Např. se jako h nabízí $h(x):=\frac{1}{x}$ nebo $h(x):=\frac{1}{\log{x}}$ , apod.)

Nyní je ovšem potřeba definovat co se myslí tím "největší" a ""nejmenší" funkce. Asi by bylo možné zvolit více vhodných definic. Pro naše účely zvolme např. tu, že řekneme, že f je menší než g, pokud je $\lim_{x \to \infty}{\frac{f(x)}{g(x)} < 1}$ . Pokud vás napadne vhodnější kriterium, můžeme jej využít. (Výše uvedené kriterium nemusí být tak struktní a místo limity může např. uvažovat pouze veličinu "limes superior/inferior", apod.)

Díky za názory a rekace. Spíše než přesné řešení bych byl rád, kdyby z výše uvedeného bylo jasné o co mi jde - nalézt nějakou "mezní" hodnotu (mezní funkci) h, pro kterou ještě I diverguje, ale pro "větší" funkce již I konverguje. Nebráním se neformálním diskusím na uvedené téma - doufám, že myšlenka dotazu je zřejmá a nerad bych aby bylo téma "zatemněno" bazírováním na jednom konkrétním kriteriu "menší" a "větší" funkce, i když je samozřejmé, že s nějakou definicí pracovat musíme, abychom své výsledky mohli porovnávat.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

V podstatě můžeš hledat hledat "mezní" funkci $\varphi > 0$ pro integrál $J:= \int_{1}^{\infty} \varphi (x) \d x$ a funkci $h$ pak určit
z rovnice $\frac{1}{x^{1+h(x)}} = \varphi(x)$ . Ale nezdá se mi, že by "mezní" funkce pro konvergenci či divergenci integrálu
v takto obecném tvaru existovaly.

Pavel · 27. 10. 2015 19:10

↑ check_drummer:

Předpokládejme, že všechny uvažované funkce jsou kladné na nějakém intervalu $(a,\infty)$ , $a\in\mathbb R$ .

Definujme

$h(x):=\frac{\log\log x}{\log x}.$

Nechť dále existuje funkce $f(x)$ , která je podle Tvé definice "větší" než $h(x)$ , tj.

$0\leq\lim_{x\to\infty}\frac{h(x)}{f(x)}<1.$

Limitu označme $\alpha$ , tj. $\alpha\in[0,1)$ . Volme $\varepsilon>0$ tak, aby $\alpha+\varepsilon<1$ . Pak existuje takové $K>0$ , $K>a$ , že

$\frac{h(x)}{f(x)}<\alpha+\varepsilon\quad\Rightarrow\quad f(x)>\frac 1{\alpha+\varepsilon}\cdot h(x)\qquad\forall x>K.$

Pak zřejmě

$\int_K^{\infty}\frac 1{x^{1+h(x)}}\,\mathrm dx=\int_K^{\infty}\frac 1{x\log x}\,\mathrm dx\mathrel{\color{red}\boldsymbol{=\infty}}$

Jednoduše se však ukáže, že

$\int_K^{\infty}\frac 1{x^{1+f(x)}}\,\mathrm dx<\int_K^{\infty}\frac 1{x^{1+\frac 1{\alpha+\varepsilon}h(x)}}\,\mathrm dx=\int_K^{\infty}\frac 1{x\log^{\frac 1{\alpha+\varepsilon}} x}\,\mathrm dx\mathrel{\color{blue}\boldsymbol{<\infty}}$

K funkci $h(x)$ nelze nalézt "větší" funkci, pro níž by požadovaný integrál divergoval.

Bati · 01. 11. 2015 15:32 — Editoval Bati (01. 11. 2015 15:45)

Ahoj ↑ Pavel:.
Tvůj příspěvek mi unikl pozornosti, všiml jsem si až dnes.
Funkci ve jmenovateli integrálu $\int_K^{\infty}\frac 1{x\log x}\,\mathrm dx=\infty$
lze libovolně zvětšovat např. pomocí vyšších iterací logaritmu (nebo i jiných funkcí, viz sousední téma).
Pokud bych měl dodržovat místní notaci, zvolím např. $h(x)=\frac{\log\log x}{\log x}+\frac{\log\log\log x}{\log x}$ .
Když funkce ve jmenovateli bude ve tvaru $x b(x)$ , kde $b\in SV(1,\infty)$ , pak se dá celkem snadno dokázat, že hledaná "mezní funkce" neexistuje. Z Lorentz-Karamatovy reprezentace pak okamžitě plyne, že pro integrál $\int_{K}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ hledaná hraniční funkce neexistuje, pokud f je tzv. regularly varying - definice zde.

Pokud je tvůj důkaz správně (nekontroloval jsem pečlivě), pak tahle nesrovnalost mezi našemi závěry bude způsobená nepřirozenou volbou tvaru hledané funkce $x^{1+h(x)}$ .

Pavel · 01. 11. 2015 19:10 — Editoval Pavel (01. 11. 2015 19:10)

↑ Bati:

Máš pravdu, k funkci $f$ , jejíž příslušný nevlastní integrál diverguje, lze vždy nalézt jinou funkci $g$ , jejíž nevlastní integrál diverguje "pomaleji". Mezní funkce v tomto smyslu opravdu neexistuje. Obdobný závěr by platil i pro konvergentní integrály. Zdánlivý rozpor vzniká opravdu v důsledku jiného zápisu hledané funkce. Skutečný rozpor však nenastává.

Bati · 01. 11. 2015 19:19 — Editoval Bati (01. 11. 2015 19:29)

Pavel napsal(a):
↑ Bati:
k funkci $f$ , jejíž příslušný nevlastní integrál diverguje, lze vždy nalézt jinou funkci $g$ , jejíž nevlastní integrál diverguje "pomaleji".

Umíš to dokázat pro obecnou f měřitelnou? Mě úplně nenapadá jak. Tím pomaleji, tady myslím, že $\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}= 0$ (Funkce, jejichž limity se liší jen o násobek kladné konstanty považuji za ekvivalentní).

Pavel · 01. 11. 2015 20:03

↑ Bati:

Znám důkaz pro analogické tvrzení pro nekonečné řady - neexistuje "nejpomaleji" divergentní řada. Viz zde, str. 290, Theorem 173 a dále str. 299, Otázka 2. Protože existuje velice úzký vztah mezi divergencí nevlastních integrálů reálné funkce a divergencí nekonečných řad (viz integrální kritérium), domnívám se, že podobné tvrzení bude existovat i pro nevlastní integrály.

Bati · 01. 11. 2015 20:45

↑ Pavel:
To mě nenapadlo, díky za odkaz.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2015 21:02

Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#2 14. 07. 2015 13:14 — Editoval Rumburak (14. 07. 2015 13:26)

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#3 27. 10. 2015 19:10

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#4 01. 11. 2015 15:32 — Editoval Bati (01. 11. 2015 15:45)

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#5 01. 11. 2015 19:10 — Editoval Pavel (01. 11. 2015 19:10)

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#6 01. 11. 2015 19:19 — Editoval Bati (01. 11. 2015 19:29)

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

Pavel napsal(a):

#7 01. 11. 2015 20:03

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

#8 01. 11. 2015 20:45

Re: Mezní bod, kdy daný integrál diverguje (konverguje)

Zápatí