Matematické Fórum

↑ Respekt:
Dobrý den,
stačí ukázat, že i složená relace je ekvivalence, tedy že je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Na první pohled (=tedy možná se mýlím) je to jen o mechanickém ověření.

Tak na přednášce vám to určitě předváděli (proto je důležité chodit na přednášky) ;-)

Pokusím se ti spíš naznačit, jak takový důkaz probíhá. Doplnit a formálně zapsat si to zkus sám. Nejprve je třeba si uvědomit, co je to složená relace.


Slovně řečeno, xE1oE2z znamená, že existuje alespoň jeden prvek y takový, že xE2y a současně yE1z. Tedy vlastně mezi prvky x a z je prvek y takový, že je s prvkem x spojen relací E2 a s prvkem z relací E1.

Reflexivita: Relace R je reflexivní, pokud platí xRx. Relace E1 i E2 jsou ekvivalence, tedy platí xE1x i xE2x. Tím "spojovacím prvkem" z definice složené relace může být samo x. Tedy E1oE2 je také reflexivní.

Symetrie: Relace R se symetrická, pokud z xRy plyne yRx. Složená relace xE1oE2z znamená, že existuje nějaké y "mezi", které je ekvivalentí podle jedné relace s x a podle druhé relace se z. Z toho ale nemusí plynout to, že ekvivalence jsou i opačné.
Takže tady je potenciální zdroj problémů a chtělo by to ukázat, že relace vzniklá složením dvou ekvivalencí nemusí být symetrická. Obvyklá technika je v tomto případě protipříklad, tedy najdeš takové dvě ekvivalence, jejichž složení není ekvivalence.

(Složení ekvivalencí skutečně nemusí být ekvivalence.)