Matematické Fórum

xstudentíkx · 02. 11. 2015 14:54

Ahoj,

Potřebuji trochu poradit s jednou úlohou. Ve vektorových prostorech mám ještě trochu zmatek a nejsem si úplně jista, jak zde pokračovat.

Buď $M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ množina všech omezených reálných funkcí na intervalu $\ensuremath M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ a libovolné $\lambda \in \mathbb{R}$ definujeme:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

$(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$

Zde se jedná o vektorový prostor, který mám dokázaný.
A dále máme:
Položme: $Q{}_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}= \{ f \in M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}} , \forall t \in \langle a,b\rangle : \mid f(t) \mid \leq 1\}$
Rozhodněte, zda je $Q{}_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ vektorový prostor. Víme-li, že $M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ je vek. prostor nad tělesem $\mathbb{R}$ . Množina $M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ je stejně definována.

Mohu zde dokázat, že je $Q{}_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ vektorový podprostor vek. prostoru $M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ ?
Vzhledem k tomu, že se zde jedná pouze o určité omezení, by to dle mého mělo jít.
A dále přesně nerozumím právě tomu omezení $|f(t)|\le 1$ , platí to vyloženě pro tu funkci $f(t)$ , tedy například pro funkci $g(t)$ nikoliv?
Prosím někoho o určité objasnění, u těchto funkcí s tím mám celkem problém.

jarrro · 02. 11. 2015 15:03 — Editoval jarrro (02. 11. 2015 15:03)

v Q sú práve tie funkcie ktoré sú ohraničené zdola mínus jednotkou a zdola jednotkou teda to nie je podpriestor, lebo napríklad $1_{\left<a, b\right>}+1_{\left<a,b\right>}=2_{\left<a,b\right>}$

Andrejka3 · 02. 11. 2015 15:04

↑ xstudentíkx:
Ahoj.
Pochopit to omezení je podstatné. Znamená to, že všechny hodnoty té fce se vejdou do vodorovného pásu, který začíná v -1 a končí v 1 (třeba sinus).
Například pro a=0, b=1, konstantní fce f(x)=2 nevyhovuje té podmínce.

xstudentíkx

Je mi zřejmé, že to musí být takto omezené, ale v tom zápise je $|f(t)|\le 1$ , nicméně mám v množině $M_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ ještě funkci $g(x)$ , pro tu by toto omezení platit zřejmě nemělo, jelikož v zápisu je pouze $|f(t)|\le 1$ . Jinak $Q{}_{\ensuremath{\langle a,b\rangle}}$ tedy nebude ani vektorový prostor, jelikož není uzavřený na sčítání?

Andrejka3 · 02. 11. 2015 17:42

↑ xstudentíkx:
$g$ by mělo být ze stejné množiny (nosné množiny podprostoru), takže pro něj má platit stejné omezení (jak píše ↑ jarrro: - vezmeš dva prvky podprostoru, sečteš je a výsledek musí být taky v daném podprostoru).
Stejně pro násobení skalárem.
Sčítání na podprostoru má být restrikcí sčítání na celém prostoru. Násobení skalárem obdobně.

xstudentíkx

↑ Andrejka3:

Dobře, takže teď už vím co pro co platí.

Jo tomu rozumím, akorát tento zápis $1_{\left<a, b\right>}+1_{\left<a,b\right>}=2_{\left<a,b\right>}$ je mi zatím docela cizí. Mohu to udělat takto? $(f+g)(b)=f(b)+g(b)=f(1)+g(1)=h(2)$ , funkce dávající hodnotu 2 do daného podprostoru nepatří, tudíž se nejedná o podprostor (funkce pro které toto platí, není problém najít)

Andrejka3

↑ xstudentíkx:
Jo. Edit: 2 v tvém příkladu není prvkem prostoru ani podprostoru. Prvky tvého prostoru jsou fce (ne jejich hodnoty).

A zápis $2_{\left<a, b\right>}$ je fce definovaná na $\left<a,b\right>$ s předpisem $x\mapsto 2$ (konstantní fce).

xstudentíkx

↑ Andrejka3:

Super. Děkuji za vysvětlení, pár věcí jsem si urovnala a zjistila něco nového. Tomu zápisu už taky rozumím :)

Teď už by to mělo být v pořádku.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2015 14:54

Vektorový prostor/podprostor

#2 02. 11. 2015 15:03 — Editoval jarrro (02. 11. 2015 15:03)

Re: Vektorový prostor/podprostor

#3 02. 11. 2015 15:04

Re: Vektorový prostor/podprostor

#4 02. 11. 2015 17:31 — Editoval xstudentíkx (02. 11. 2015 17:32)

Re: Vektorový prostor/podprostor

#5 02. 11. 2015 17:42

Re: Vektorový prostor/podprostor

#6 02. 11. 2015 17:54 — Editoval xstudentíkx (02. 11. 2015 18:06)

Re: Vektorový prostor/podprostor

#7 02. 11. 2015 18:01 — Editoval Andrejka3 (02. 11. 2015 18:02)

Re: Vektorový prostor/podprostor

#8 02. 11. 2015 18:05 — Editoval xstudentíkx (02. 11. 2015 18:07)

Re: Vektorový prostor/podprostor

Zápatí