Matematické Fórum

veronica · 03. 01. 2008 15:33

prosím o pomoc:
a) udejte příklad funkce, která je spojitá v bodech x = 1, x= 2 a v žádném jiném
b) udejte příklad funkce, která má limitu v bodě x = 1 a v žádném jiném limitu nemá
c) lim {x->oo} ((x+sin x) / (x + cos x))

děkuji

Marian · 04. 01. 2008 07:07 — Editoval Marian (04. 01. 2008 08:03)

Tesil jsem se na nektere uvahy kolegu z fora, ale zatim asi nikdo nemel cas, takze se do toho pustim ja. Zacnu limitou v uloze (c). Pak pujdu na (a) a konecne take na (b).

(c)

Staci si uvedomit, ze funkce $\sin x$ a $\cos x$ jsou omezene na $\mathbb{R}$ . Vytkneme a mame celkem

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x\cdot\left (1+\frac{\sin x}{x}\right )}{x\cdot\left (1+\frac{\cos x}{x}\right )}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1.$
========================================================================

(a)

Pouziju zde tzv. charakteristickou funkci mnoziny racionalnich cisel, tj. funkci $\chi_{\mathbb{Q}}$ (pozor, vypada to jako velke "X", ale je to recke pismeno "chi"), ktera se zpravidla oznacuje jako $D(x)$ a rika se ji Dirichletova funkce. Je definovana takto

Jak je z definice funkce D(x) videt, jedna se o funkci, ktera je nespojita v kazdem bode $x_0\in\mathbb{R}$ . Lze z ni jednim trikem vyrobit snadno funkci, ktera je spojita pouze v predem definovanych bodech. Nejjednodussi je to tak, ze se veme polynom $p(x)$ s nulovymi body, takovymi, ve kterych potrebujes, abya tva nova funkce mela bod spojitosti prave v techto bodech. Ty potrebujes spojitost v bodech $x=1$ a $x=2$ . Prislusny polynom je tudiz $p(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ . Nyni se zkonstruuje soucin $p(x)\cdot D(x)$ . Tedy hledana funkce (jedna z nekonecne mnoha), ktera ma pozadovane vlastnosti je funkce

$f_1(x):=(x^2-3x+2)\cdot D(x).$

Snadno se ukaze, ze tato funkce skutecne vyhovuje. Hezky je to videt na (fiktivnim) grafu teto funkce (neni jej mozne nakreslit presne). Ale situace je takova, ze u Dirichletovy funkce D(x) byly fluktuace funkcnich hodnot porad stejne (viz definice D(x)). V pripade funkce f_1(x) se funkcni hodnoty v okoli nulovych bodu polynomu p(x) "tlaci" doslova pro racionalni "x" k hodnotam funkce D(x) pro iracionalni "x". Fiktivni graf teto funkce tedy bude vypadat jako primka y=0 (pro iracionalni "x") a parabola p(x)=x^2-3x+2.

Pokud by spojitost funkce f_1(x) nebyla stale zrejma, staci uvazit, ze pro spojitost realne funkce f(x) jedne realne promenne staci, aby byly splneny tyto podminky (jsou dokonce ekvivalentni se spojitosti funkce v bode x_0):

--> funkce f(x) je definovana v bode $x_0$ ,
--> existuje limita $\lim_{x\to x_0}f(x)$ a plati, ze $f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x).$

Podminky pro funkci f_1(x) jiste overis sama.
========================================================================

(b)

Podobne jako v pripade (a). Vemes funkci

$f_2(x):=(x-1)\cdot D(x)$ .

robert.marik

veronica napsal(a):
prosím o pomoc:
a) udejte příklad funkce, která je spojitá v bodech x = 1, x= 2 a v žádném jiném
b) udejte příklad funkce, která má limitu v bodě x = 1 a v žádném jiném limitu nemá
c) lim {x->oo} ((x+sin x) / (x + cos x))

děkuji

mimochodem, to c) je typicky priklad na limitu nekonecno/nekonecno, kde l'Hospitalovo pravidlo nepomuze.

Jeste jsou oblibene dotazy na to, aby treba derivace byla jenom v jednicce a nikde jinde. Pak staci vzit ten priklad co dal Marian a ten vyraz (x-1) schovat do druhe mocniny.

veronica · 04. 01. 2008 12:05

díky moc za pomoc, konečně vím, jak na to

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2008 15:33

Spojitost, limita

#2 04. 01. 2008 07:07 — Editoval Marian (04. 01. 2008 08:03)

Re: Spojitost, limita

#3 04. 01. 2008 10:26 — Editoval robert.marik (04. 01. 2008 10:28)

Re: Spojitost, limita

veronica napsal(a):

#4 04. 01. 2008 12:05

Re: Spojitost, limita

Zápatí