Matematické Fórum

undisputed · 03. 11. 2015 16:54

Zdravím,
1. Mám vyšetriť konvergenciu radu: $\sum_{n=2}^{\infty }arcsin\frac{3}{n^{3}}$
Nutná podmienka konvergencia platí, keďže limita = 0. Druhú podmienku som dal takúto:
$arcsin\frac{3}{n^{3}}<\frac{3}{n^{3}}$
$\frac{3}{n^{3}} => konverguje =>arcsin\frac{3}{n^{3}} konverguje$
Vraj to nie je dôkaz. Ako to rozvetviť?

2. Mám rad: $\sum_{n=10}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}-3}$
Potrebujem zistiť, že je nerastúca. Ako na to? Ja som tam dosadil len čísla 10,11,12 a z toho to už vyplývalo, ale vraj ani to nie je dôkaz.

Eratosthenes · 03. 11. 2015 18:37

ahoj ↑ undisputed:

ad 1) asi bych doplnil $0<arcsin\frac{3}{n^{3}}<\frac{3}{n^{3}}$ a myslím, že je to OK. Vyučujícímu možná chybí důkaz, že

$arcsin\frac{3}{n^{3}}<\frac{3}{n^{3}}$

Jinak nevím.

ad 2: Co má být nerostoucí? Posloupnost částečných součtů roste určitě...

undisputed · 03. 11. 2015 19:53

1. no veď práve ten dôkaz neviem ako spraviť
2. ono to určite nerastie, ale klesá viz:
n=10 výsledok = $\frac{1}{\sqrt{10}-3}=6.1...$
n=11 výsledok = $\frac{1}{\sqrt{11}-3}=3.1...$
n=12 výsledok = $\frac{1}{\sqrt{12}-3}=2.1...$

Al1 · 03. 11. 2015 20:51

↑ undisputed:

Zdravím,

ad2)

musíš hledat součty. Obecně platí
$s_{1}=a_{1}$
$s_{2}=a_{1}+a_{2}=s_{1}+a_{2}$
$s_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=s_{2}+a_{3}$ atd.

undisputed · 03. 11. 2015 21:06

A to mi ako čo dokazuje?

Al1 · 03. 11. 2015 21:27

↑ undisputed:

No tys jenom vypsal první tři členy posloupnosti $\{\frac{1}{\sqrt{n}-3}\}_{n=10}^{\infty }$ . Jenže ty máš posuzovat nekonečnou řadu.

$s_{10}=a_{10}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}$
$s_{11}=a_{10}+a_{11}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}+\frac{1}{\sqrt{11}-3}$
$s_{12}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}+\frac{1}{\sqrt{11}-3}+\frac{1}{\sqrt{12}-3}$

a máš dokázat, že částečné součty tvoří nerostoucí posloupnost- to znamená, že když přičítáme jednotlivé členy, dostaneme buď ten samý výsledek, nebo menší ( máš ovšem řadu s nezáporným členy. To znamená, že jak přičítáme její členy, postupné součty se mohou pouze zvyšovat nebo zůstanou stejné)

Tvůj důkaz by byl: dokažte, že $s_{n}\ge s_{n+1}$

( znovu ale upozorňuji, jak už řekl kolega Eratosthenes, částečné součty tvoří neklesající posloupnost)

undisputed · 04. 11. 2015 08:03

Takže tým pádom platí, že je to neklesajúca postupnosť a nie nerastúca?

LukasM · 04. 11. 2015 08:46

Eratosthenes napsal(a):
Vyučujícímu možná chybí důkaz, že
$arcsin\frac{3}{n^{3}}<\frac{3}{n^{3}}$

To bych se vůbec nedivil. Ona ta nerovnost totiž neplatí.

undisputed · 04. 11. 2015 16:36

Zadanie k tomu je:
Vyšetrite konvergenciu radu $\sum_{n=2}^{\infty }arcsin\frac{3}{n^{3}}$

Ako mám potom spraviť inak to porovnávacie kritérium?

LukasM · 04. 11. 2015 16:54

↑ undisputed:
Zkusil bych odhad $arcsin\frac{3}{n^{3}}<\color{red}2\color{black}\cdot \frac{3}{n^{3}}$ , který by měl platit pro dostatečně velké n (což nám pro odhadování stačí). Dokázat tu nerovnost určitě půjde z toho, že sin se u nuly chová jako y=x (např. by asi šlo začít u $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ ). Pořádně to rozepsat zkus sám, já jsem to nedělal - takže za tuto odpověď úplně neručím.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2015 16:54

2 dôkazy

#2 03. 11. 2015 18:37

Re: 2 dôkazy

#3 03. 11. 2015 19:53

Re: 2 dôkazy

#4 03. 11. 2015 20:51

Re: 2 dôkazy

#5 03. 11. 2015 21:06

Re: 2 dôkazy

#6 03. 11. 2015 21:27

Re: 2 dôkazy

#7 04. 11. 2015 08:03

Re: 2 dôkazy

#8 04. 11. 2015 08:46

Re: 2 dôkazy

Eratosthenes napsal(a):

#9 04. 11. 2015 16:36

Re: 2 dôkazy

#10 04. 11. 2015 16:54

Re: 2 dôkazy

Zápatí