Matematické Fórum

holyduke · 03. 11. 2015 21:54

Ahoj,
mám problém dokázat indukcí, že $$\frac{n+1}{2}$^{n}>n!$ pro $n\ge 2$ .
Díky za rady

Sherlock

řešilo se třeba zde

Nebo můžeš třeba postupovat takto: když se ti podaří dokázat $\frac{L(n+1)}{L(n)}>\frac{P(n+1)}{P(n)}$
znamená to, že levá strana roste rychleji, než pravá, a tedy nerovnost bude vždy platit.

Bude tam potřeba využít předpoklad $(1+\frac{1}{n})^{n}>2$ (tohle se dá jednoduše dokázat Bernoulliho nerovností)

Brano · 03. 11. 2015 22:20 — Editoval Brano (03. 11. 2015 22:20)

$\frac{$\frac{n+1}{2}$^{n}}{$\frac{n}{2}$^{n-1}}=\frac{n}{2}$\frac{n+1}{n}$^n=\frac{n}{2}$1+\frac{1}{n}$^n\ge \frac{n}{2}2=\frac{n!}{(n-1)!}$
a teda
$$\frac{n+1}{2}$^{n}\ge\frac{$\frac{n}{2}$^{n-1}}{(n-1)!}\cdot n!$
a prvy clen bude z indukcneho predpokladu $\ge 1$

EDIT: neskoro :)

holyduke · 03. 11. 2015 22:37

jasný, díky

Sherlock

↑ Brano:

Jsem objevil ještě hezčí a jednodušší důkaz:

Platí následující nerovnost(AG):
$\frac{\sum_{i=1}^{n}i}{n}> \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}i}$

Pro součet aritmetické posloupnosti platí: $\frac{\sum_{i=1}^{n}i}{n}=\frac{1}{2}(n+1)$ .

Důkaz hotov.

vanok · 03. 11. 2015 23:37

Ahoj ↑ Sherlock:,
Presne to iste co som pripomenul tu v #6
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=86167
No vsak to nie je dokaz indukciou.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2015 21:54

Matematická indukce

#2 03. 11. 2015 22:11 — Editoval Sherlock (03. 11. 2015 22:23)

Re: Matematická indukce

#3 03. 11. 2015 22:20 — Editoval Brano (03. 11. 2015 22:20)

Re: Matematická indukce

#4 03. 11. 2015 22:37

Re: Matematická indukce

#5 03. 11. 2015 23:05 — Editoval Sherlock (03. 11. 2015 23:14)

Re: Matematická indukce

#6 03. 11. 2015 23:37

Re: Matematická indukce

Zápatí