Matematické Fórum

↑ senin04:
Dobrý den,

Příklad 1: Zcela očividný problém pomocného výpočtu (to nejvíce červené) je v tom, že zapsané rovnosti neplatí. Úvaha je správná, formální znázornění skoro také - jen to platí nikoliv pro libovolné n, jak vypadá ze zápisu, ale až v limitě pro n jdoucí k nekonečnu.

Další chyba (drobná chybka) byla ta, že jsi sice napsal "0<1", ale slovně jsi to neinterpretoval jako "dle limitní varianty Raabeho kritéria diverguje", ale jen jsi jen tak na volný kus nacpal "0<1", což může znamenat cokoliv. Štábní kultura není nepodstatná, zejména pokud jsi na technické škole.

(Možná snazší by bylo použití srovnávacího kritéria s řadou 1/n)

Příklad 2: Výpočet správně, interpretace nikoliv. To, že limitní podílové kritérium vyšlo 3, říká pouze to, že řada diverguje. Doporučuji si zopakovat, co znamená divergence řady - rozhodně nemůže divergovat do hodnoty 3. Divergovat může pouze do plus nebo mínus nekonečna. No a protože řada v zadání má všechny prvky kladné, tak diverguje do plus nekonečna.

Příklad 3: Tady je třeba si uvědomit, co je to altenující řada a co je to absolutní konvergence.
Alternující řada má jednu šikovnou vlastnost. Nutná podmínka konvergence řady je zde totiž postačující, tj. pokud jde posloupnost prvků řady k nule, řada konverguje. Zde si snadno ukážeš (resp. ukázal jsi), že konverguje.

Absolutní konvergence je silnější omezení než jen konvergence. Absolutní konvergence totiž znamená, že je konvergentní i řada tvořená absolutními hodnotami prvků (tj. vypuštěním členu (-1)^n). Potud jsi asi uvažoval správně, ale špatně jsi použil srovnávací kritérium. Rovnost, kterou jsi použil jako výchozí, evidentně neplatí.. Místo toho jsi mohl vyjít z nerovnosti:


kterou si upravíš na tvar:

(Edit: Ve druhém zlomku samozřejmě odmocnina být nemá...)

Posloupnost na pravé straně nerovnice je divergentní a tedy podle srovnávacího kritéria řada diverguje. Tedy řada v zadání nekonverguje absolutně, ale konverguje (relativně).

P.S.: Při dotazech dávej jednotlivé příklady do samostatných témat.

↑ senin04:
Bez toho "jen dopsání limity" správný není. Pokud by tam byla limita, tak už ano.