Matematické Fórum

↑ Raubbbyy:
Hezký den,
není náhodou jednou z vlastností právě a jen hermitovských operátorů to, že mají všechna vlastní čísla reálná? (K funcionální analýze jsem se stále ještě nedokopal, takže se třeba mýlím.)

Tedy když předpokládám, že operátor exp není hermitovský, stačí najít vlastní vektor, jehož vlastní číslo bude mít nenulovou imaginární složku, tj. budu hledat jedno šikovné řešení úlohy:


Takovým hezkým vlastním vektorem by mohla být konstantní fuknce. Když si zvolím konkrétně , dostanu:


a po úpravě (pokud jsem nespáchal botu):


Tedy mám vlastní číslo s nenulovou imaginární složkou a proto exp není hermitovský operátor.

↑ Raubbbyy:
Tohle jsou takové nečisté triky, didakticky spíše nevhodné. Prostě jsem se snažil vymyslet nějakou funkci , která by byla vlastní vektor, tedy:

(definice vlastního čísla)

pro nějaké konkrétní číslo . No a napadla mě jen konstantní funkce. Konkrétně i jsem zvolil z toho důvodu, že jde o komplexní číslo s nenulovou reálnou i imaginární složkou:


Tedy vlastní číslo bude muset být nutně také komplexní číslo s nenulovou reálnou i imaginární složkou.

Edit: No a to, že jsem při takové volbě nalezl vlastní číslo, je vlastně potvrzením, že je vlastní vektor.