Matematické Fórum

1) Co znamená

kde |FG| a |HI| jsou minimální vzdálenosti přímek a,b za daných podmínek,

přece přímky a, b se protínají, proto jejich vzdálenost je nulová.

2) Má být a ?

3) Mají body nějakou roli, nebo jsou tam nějak navíc?

Já asi úplně nerozumím zadání. Přece, když si zvolím na libovolný bod , pak (pokud není ) udělám osu úsečky a označím a mám .

Zdravím,

↑ byk7:, ↑ Tomas5: můžeme tuto úlohu přeformulovat jako "na přímkách a, b naleznete body F a G tak, aby trojúhelník EFG byl rovnoramenný (základna EG) a délka lomené čáry EFG (ramena) byla minimální"? Je to nějaká modifikace problému Fagnano?

↑ Tomas5: se rozumí jen další dvojice bodů tak, aby ramena byla "opačně" k předchozí úloze?

Děkuji.

↑ Tomas5:

děkuji, potom mi ale chybí nějaké kritérium na dokončení (jak budu prokazovat, že opravdu úsečka FG je minimálně možná za daných podmínek). Sestrojím trojúhelník minimálního obvodu, základnu EG ponechám, nad ni sestrojím ramena - tak ale nemám záruku, že příčka |FG| je minimální.

Úloha v 1. příspěvku je originální text? Nějak se mi nezdá, že by bylo zadáváno stylem "(kde |FG| a |HI| jsou minimální vzdálenosti přímek a,b za daných podmínek)" viz také kolega ↑ byk7:. Je zasazena do některého studijního okruhu? Děkuji.

↑ Tomas5:

děkuji, ještě by bylo dobré, abys zadání napsal v originálním znění bez úprav a doplňků (to je jak "vytvořte mi bydliště" a v nabídce je od zemljanky do mrakodrapu). Otočením o 60 stupňů okolo bodu E jde sestrojit rovnostranný trojúhelník (což splňuje podmínku, ale to nejspíš máš). Je požadavkem opravdu striktně sestrojit trojúhelník jen rovnoramenný (původní zadání prosím).

↑ Tomas5:

dva body vždy leží na stejné přímce. Rovnostranný trojúhelník EFG sestrojím tak, že v otočení s centrem E o úhel +/- 60 stupňů otočím přímky a, b (tuto úlohu jsi řešil na SŠ ve shodných zobrazeních). Můžeš, prosím, napsat původní zadání - úplně nejlépe odkazem (pokud je online), nebo scan nebo screen - ne převyprávěné varianty s úpravou. Až dořešíme původní, potom budeme diskutovat, jak ho můžeme zpřísnit, vylepšit apod.

Souhlasíš? Děkuji.

↑ Tomas5:

děkuji, to mám dojem opět Tvá "transformace" požadavku, že vzdálenost FG má být minimální. Zkoušela jsem vyšetření úlohy na extrém (původní požadavek "vzdálenost GF minimální a |GF|=|EF|"), pokud jsem neměla nějakou chybu v odvození, tak mi to vyšlo, že řešení existuje.

Pokud požaduješ, aby GF bylo na kolmici k a, potom sestrojíš libovolný pomocný trojúhelník, ve kterém bude jedná str. kolmá k a, průsečík této strany s přímkou b dá další bod pomocného trojúhelníku, ze kterého sestrojíš kružnici o poloměru = první strana. Kružnice se přetne s přímkou spojující bod E s vrcholem úhlu. Použili jsme stejnolehlost se středem ve vrcholu úhlu, konstrukci dokončíš. Toto ale nedává minimální vzdálenost GF.

Přeci to zadání máš dáne, nebo úlohu si máš navrhnout sám, nebo jak? Můžeš, prosím, dat zadání v originálu bez úprav, děkuji.

↑ byk7:

Zdravím, ano, čekala bych to - viz také mé upřesnění v příspěvku 4 (např. úloha vepsaní trojúhelníku minimálního obvodu). Ale jak přejít k rovnoramennému, tak to také nevím. Analyticky jsem to snad odvodila (vyšetřením extrému), nevím, zda poslední kolegův požadavek neplyne také z odvození. No ze všeho nejvíc by mne potěšilo originální zadání :-) 

---------------------------

"Budu pro jednoduchost uvažovat trojúhelník, který má všechny délky stran navzájem různé (případ, že se všechny rovnají je snadný a případ rovnoramenného trojúhelníku si rozmysli samostatně)." (c)

↑ Tomas5:

"doplnila" jsem do Tvého náčrtu - je to stejnolehlost se středem S (vrchol zadaného úhlu), pomocný je G1F1E1, začínám libovolným G1X kolmé k přímce a. Tato část ale nebude zajímavá úloha. Zajímavá úloha je důkaz, že taková situace opravdu dává minimální možnou délku ramena.

↑ byk7: u extremálních úloh také je časté, že ač je na odvození jednoduchá, tak je obtížná na sestrojení.

Zdravím.