Matematické Fórum

jinsun · 07. 11. 2015 09:38

Zdravím, počítám příklad na limitu fce a nevím si rady jak jí spočítat bez užití Lopitala. Nevidím tam žádnou možnou úpravu, jedině toho Lopitala a toho používat zatím nesmíme.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-11/85246_pr.png

Můj postup pro kontrolu s Lopitalem:

Předem děkuji za rady.

Bati · 07. 11. 2015 10:42 — Editoval Bati (07. 11. 2015 11:02)

Ahoj ↑ jinsun:.
Celé to stojí na tom, že funkce $x^{\alpha}(\ln{x})^{\beta}$ , $\alpha\neq0$ , má v nekonečnu vždy stejnou limitu jako $x^{\alpha}$ . Tzn., že vliv těch logaritmických funkcí je potlačen tou mocninou. To bez l'Hospitala dokážeš hraním si s epsilony (myslím, že už jsem to tady na fóru jednou dělal).
V tvém případě máš $\frac{x}{(\ln{x^2})^2}=\tfrac14x(\ln{x})^{-2}$ .

Edit: Dám ještě návod, jak to jednoduše dokázat. Máme tedy funkci $f(x)=x^{\alpha}(\ln{x})^{\beta}$ s $\beta\in\mathbb{R}$ a vyšetřujme například případ $\alpha>0$ ( $\alpha<0$ se udělá analogicky). Funkci f si můžu napsat jako
$f(x)=x^{\frac{\alpha}2}\,x^{\frac{\alpha}2}(\ln{x})^{\beta}=:x^{\frac{\alpha}2}g(x)$ . Pokud ukážu, že existuje $x_0\in\mathbb{R}$ tak, že funkce g je rostoucí a kladná na $(x_0,\infty)$ , pak jsem hotov, protože pak pro $x>x_0$ můžu udělat odhad $f(x)=x^{\frac{\alpha}2}g(x)>x^{\frac{\alpha}2}g(x_0)\to\infty$ .
Monotonie g se snadno dokáže zderivováním (s l'Hospitalovo pravidlem to ale vůbec nesouvisí).