Matematické Fórum

Straka · 08. 11. 2015 17:53

Zdravím, úkolem je udělat program, který hledá požadovaný počet iterací pro výpočet dostatečně přesné hodnoty logaritmu. Uživatel zadá interval hodnot, pro které chce znát požadovaný počet iterací pro Taylorův polynom nebo zřetězený zlomek takový, aby logaritmus libovolné hodnoty z tohoto intervalu odpovídal jemu zadané přesnosti.

O program nejde, mi jde hlavně o pochopení téhle látky.
Taylorův polynom implementuji takto: pro hodnotu menší než 1
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-11/01458_Taylor_log.png

a pro hodnotu hodnotu nad 1

Jak se dostanu k počtu iterací dle zadání ? .. např u (0.31-min 3-max 1e-6-přesnot) - počet iterací 6

Brano · 09. 11. 2015 15:06 — Editoval Brano (09. 11. 2015 15:30)

a musis to robit cez tieto vzorce? lebo len tak lahko s nimi nepochodis.

vezmi si napr. ten prvy
$\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$
rad sice konverguje pre $|x|<1$ ale ak mas $x=1-\varepsilon$ kde $\varepsilon\to 0$ tak potom $\ln\varepsilon\to -\infty$ ale na pravej strane mas $x\sim 1$ teda ten rad bude dostatocne dlho vyzerat ako $\sum\frac{1}{k}$ co sice diverguje, ale strasne pomaly - predstav si, ze $\varepsilon$ je take, ze $|\ln\varepsilon|>10^6$
kazdy z clenov vpravo je ale mensi ako 1 teda tych clenov ktore potrebujes nascitat aby to bolo zmysluplne blizko tam budes mat (o hodne) viac ako $10^6$ (v skutocnosti cca $e^{10^6}$ ) no a teraz si uvedom, ze ku koncu toho scitavania mas priebezny sucet okolo $10^6$ a pricitavas cislo ktore je mensie ako $10^{-6}$ (v skutocnosti cca $e^{-10^6}$ ) to ti zaokruhlovacia chyba pri scitani vyhodnoti ako keby si pricitaval nulu - cize chyba scitavania ti tu sumu ani nedovoli spolahlivo scitat

zaver je ze si nemozes dovolit mat $x$ prilis velke (blizke 1) - ked chces nejaku kontrolu chyby tak si treba pozriet Taylorovu vetu aj s nejakym konretnym odhadom chyby - skusal som Cauchyho a integralny a nic pekne to z toho nevypadlo - Lagrangeov bol lepsi - dostal som toto
$R_{n-1}=-$\frac{x}{1-y}$^n\frac{1}{n}$
kde $0<y<x$ , presnu hodnotu $y$ nevieme - treba robit odhady
ked mas napr. $x<\frac{1}{2}$ tak $|R_{n-1}|<\frac{1}{n}$ a ked napr. $x<\frac{1}{3}$ tak $|R_{n-1}|<\frac{1}{n2^n}$ alebo to mozes odhadovat pomocou aktualneho $x$
$|R_{n-1}|<$\frac{x}{1-x}$^n\frac{1}{n}$
takze bez nejakeho velkeho trapenia mozes zobrat take $n$ aby $$\frac{x}{1-x}$^n<\text{povolena chyba}$ , ale bude ti to na nieco iba pre tie $x<1/2$ .

pripadne este skus upresnit ake mas naozaj zadanie - t.j. ake mas obmedzenia - napr. co mozes predpokladat o cislach co sa budu dosadzovat, ci musis nutne pouzivat presne tie vzorce, a tak nejak

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2015 17:53

Taylorův polynom, zřetězení, počet iterací

#2 09. 11. 2015 15:06 — Editoval Brano (09. 11. 2015 15:30)

Re: Taylorův polynom, zřetězení, počet iterací

Zápatí