Matematické Fórum

xstudentíkx

Ahoj,

mám zde úlohu: Při základu 2 lze číslo $\frac{5}{7}$ rozvinout v periodický zlomek s tříčlennou periodou:

$\frac{5}{7}=\frac{1\cdot 4+0\cdot 2+1}{1\cdot 4+1\cdot 2+1}=\frac{1}{2}+\frac{0}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{0}{32}+...$

Pokud chci tímto způsobem rozložit jiný zlomek, třeba $\frac{5}{9}$ o základu 2, nedaří se mi to, dostanu třeba $\frac{5}{9}=\frac{2\cdot 2+1}{4\cdot 2+1}=\frac{1\cdot 4+0\cdot 2+1}{2\cdot 4+0\cdot 2+1}$ , ve jmenovateli se zřejmě nesmí násobit nulou, čemuž odporuje druhá možnost zápisu. Pokud tomu tak není, stejně se nedostávám k správným výsledkům.

vanok · 07. 11. 2015 20:05

Ahoj ↑ xstudentíkx:,
Ako vysvetlis toto $\frac{5}{7}=\frac{1\cdot 4+0\cdot 2+1}{1\cdot 4+1\cdot 2+1}=\frac{1}{2}+\frac{0}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{0}{32}+...$ ?
Ja to automaticky nevidim.
Ako by som nasiel taky vysledok,
Delenim ako na ZS ake v dvojkovej sustave
5-->101
7-->111
A delenie v dvojkovej sustave da 0,101101101....

Ak to skusis z druhym zlomkom co ti to da?

Zo zlomkami kde mas menovatel 7 -->111 budes mat viacej uspechov.

Honzc · 09. 11. 2015 13:56 — Editoval Honzc (09. 11. 2015 14:34)

↑ xstudentíkx:
Přečti si pozorně co ti napsal ↑ vanok: (zdravím)
Pak $(\frac{5}{9})_{10}=(\frac{101}{1001})_{2}=0.100011\,100011_{2}$
A tedy $\frac{5}{9}=\frac{1}{2}+\frac{0}{4}+\frac{0}{8}+\frac{0}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+...$
Aby se tento výsledek dal rozvinout do periody 3 lze použít tuto fintu:
$\frac{5}{9}=1-\frac{4}{9}$
$\frac{4}{9}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{8}}\Rightarrow a_{1}=\frac{1}{2},\,q=-\frac{1}{8}$
$\frac{5}{9}=1-\frac{4}{9}=1-(\frac{1}{2}-\frac{0}{4}+\frac{0}{8}\,\,\,\,-\frac{1}{16}+\frac{0}{32}-\frac{0}{64}+...)$
nebo
$\frac{5}{9}=5(\frac{1}{8}-\frac{0}{16}+\frac{0}{32}\,\,\,\,-\frac{1}{64}+\frac{0}{128}-\frac{0}{256}+...)$

xstudentíkx · 09. 11. 2015 16:44

↑ vanok:

Byl to uvedený příklad, brala jsem to tak, že mohu použít pouze mocniny dvojky a ve výsledku z toho složit určitý periodický zlomek, ten pravý princip mi však trochu unikal, takže díky za ukázání.

↑ Honzc:

Jo toto už mi pak došlo, to s tou třetí periodou není špatné ;)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2015 18:11 — Editoval xstudentíkx (07. 11. 2015 18:14)

rozvinutí v periodický zlomek

#2 07. 11. 2015 20:05

Re: rozvinutí v periodický zlomek

#3 09. 11. 2015 13:56 — Editoval Honzc (09. 11. 2015 14:34)

Re: rozvinutí v periodický zlomek

#4 09. 11. 2015 16:44

Re: rozvinutí v periodický zlomek

Zápatí