Matematické Fórum

vytautas · 09. 11. 2015 00:23

dobrý večer

potreboval by som pomoc s úlohou: nájdite všetky matice typu 2x3 nad $\mathbb{Z}_7$ také, že pre príslušné zobrazenie $f_A$ platia podmienky:
$\{ \vec x \in \mathbb{Z}_7:f_A(\vec x)= \vec 0 \}=\{t(3,2,5)^T:t \in \mathbb{Z}_7\}$
a
$\{f_A(\vec x): \vec x \in \mathbb{Z}^3_7\}=\{t(1,3)^T:t \in \mathbb{Z}_7 \}$

potreboval by som hint, ako sa k tej matici dostať.

prvá podmienka je, že $Ker(A)=(3,2,5)^T$
druhá, že pravé strany sú násobky vektoru $(1,3)$ . no neviem sa pohnúť ďalej. za akúkoľvek radu vopred ďakujem .

Freedy · 09. 11. 2015 01:19

Ahoj,

stačí si to rozepsat. Obecnou matici si zvol například
$\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix}$
a zkrátka použij informace, které znáš. Daný příklad vede na nějaké parametry.

vytautas · 09. 11. 2015 01:34

↑ Freedy:

ahoj

viem, že prvá podmienka mi dá niečo v zmysle $3ta+2tb+5tc=0$ a $3td+2te+5tf=0$ len netuším, ako to zakomponovať do druhej podmienky, tá by mala dať, že
$\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} t \\ 3t \end{pmatrix}$
lenže je tam príliš veľa neznámych a neviem, či toto je správna cesta. ďakujem .

Freedy · 09. 11. 2015 07:41

↑ vytautas:
ano, je to správná cesta. A problém s vícero proměnnýma by ti na mff nejspíš neměl vadit. Jelikož volná proměnná = parametr.
Zkrátka hledáš takovou matici, jejíž jádro je rovno (3,2,5)^T a obrazem libovolného vektoru je vektor t*(1,3)^T. Musí být tedy splněny obě podmínky najednou

vytautas · 09. 11. 2015 18:57

↑ Freedy:

povedzme, že $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

tak si zoberiem $t=0$ . vtedy dostanem práve $Ker(A)$ , čiže $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

keď zoberiem $t=1$ dostanem, že $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

keď zoberiem $t=2$ , dostanem $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

a tak ďalej . z týchto dvoch dostanem rovnice $ax_1+bx_2+cx_3=1 \\ dx_1+ex_2+fx_3=3 \\ ay_1 + by_2 +cy_3=2 \\ dy_1 + ey_2 + fy_3=6$

a tak ďalej... a takže to mám vyriešiť pre $a,b,c,d,e,f$ s koeficientami $x_1, x_2,y_1$ atď ?

ďakujem za tvoj čas.

flowergo · 09. 11. 2015 19:04

Ahojte, asi jsem fakt pitomá, ale vyjádřila jsem si to takto

$\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & x_1 \\ 2 & x_2 \\ 5 & x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & t \\ 0 & 3t\end{pmatrix}$

pak jsem to vynásobila a vyšly mi čtyři rovnice, ty jsem nějak dala do dvou matic ale dál netuším.
Počet proměnných by nevadil, problém je v tom, že jsou "neznámé" i v koeficientech :/ Zkoušela jsem to počítat i pro nějaký určitý vektor, ale nikam to nevede :/
Nebylo by ještě nějaký nakopnutí ? Díky moc

vytautas · 09. 11. 2015 19:06

↑ vytautas:

hmm, ako som si teraz všimol, rovnice pre $t=1$ a $t=2$ sú lineárne závislé, čiže budem mať rovnice $3ta+2tb+5tc=0 \\ 3td+2te+5tf=0 \\ ax_1+bx_2+cx_3=t \\ dx_1+ex_2+fx_3=3t$ pre nejaké riešenie $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ a vyriešim ich pre $a,b,c,d,e,f$ , chápem správne ?

Freedy · 09. 11. 2015 19:21

Netroufám si říct, že vaše postupy jsou špatné, nicméně mi přijdou zbytečně složité.

Dám vám dva příklady. Až je vyřešíte, dejte vědět a nastíním další postup.

1) najděte takovou matici A' typu 2×3, že platí Ker A = t(3,2,5)^T

2) najděte takovou matici A'' typu 2×3, že pro zobrazení $f_{A''}$ platí $f_{A''}(x)=(t,3t)^T$

Nicméně, domácí úkoly... jsou domácí úkoly... ty vás mají donutit, si danou látku pečlivě prostudovat a přijít na řešení částečně samostatně.

flowergo · 09. 11. 2015 19:21

↑ vytautas: jo, to bych taky ráda věděla :) právě že uplně nevím jak je vyřešit

vytautas · 09. 11. 2015 19:56

↑ Freedy:

tieto dva problémy riešim od začiatku, preto to spojenie, som myslel, že to niečo dá.

k 1 viem povedať akurát toľko, že keď vyeliminujem maticu $\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a(e-d) & af-cd \end{pmatrix}$ tak za $x_3$ dosadím $5t$

flowergo · 09. 11. 2015 19:59

↑ vytautas: já jsem zase dostala $\begin{pmatrix} 4b+3c & b & c\\ 4e+3f & e & f \end{pmatrix}$ a právě že taky nevím jak tyto dva problémy (hlavně ten druhý vyřešit)

Freedy · 09. 11. 2015 20:34

↑ flowergo:
toto je správný tvar, nicméně je lepší jej vyjádřit parametricky.
Nyní najdi takovou matici, která splňuje druhou podmínku. To znamená takovou matici, že zobrazení určené touto maticí zobrazí libovolný vektor $x\in \mathbb{Z}_7^3$ do t-násobku vektoru (1,3)^T.
Nakonec stačí tyto dvě podmínky sloučit

flowergo · 09. 11. 2015 20:56

↑ Freedy: No právě s tou druhou podmínkou mám problém :D ach jo...

vytautas · 09. 11. 2015 21:03

↑ flowergo:

ako si sa dostala k tej matici ?

flowergo · 09. 11. 2015 21:10

řešila jsem tu obecnou matici krát $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ rovnou nulovemu vektoru (jakože t=1). Kdyby t=2,3,4... 6 tak ti vyjde úplně to samé :)

vytautas · 09. 11. 2015 21:24

↑ flowergo:

chápem, len netuším, čo si presne spravila, keď riešiš tú maticu, tak dostaneš 2 rovnice o 6 neznámych a z toho neviem ako sa pohnúť.

coinflip · 09. 11. 2015 21:29

↑ vytautas:
v tych dvoch rovniciach si vyjadrila acko a decko pomocou tych zvysnych premennych. pokial ti to nevychadza tak nezabudni ze sme v Z sedem.

vytautas · 09. 11. 2015 21:30

↑ coinflip: aha, fakt. ospravedlňujem a už to vidím.

vytautas

↑ flowergo:

z druhej podmienky sa dá dostať: $4a=6d \\ 4b=6e \\ 4c=6f$ možno to pomôže

flowergo · 09. 11. 2015 23:17

↑ vytautas: no kdybych věděla jak to odsud dostat, tak by to pomohlo :D
pořád mám buď $\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} t \\ 3t\end{pmatrix}$
a buď tam prostě mám moc různejch neznámejch (jako v koeficientech) a dosadit tam nějaké vektory nepomáhá :/ mě lingebra fakt moc nedává smysl :'(

Freedy · 09. 11. 2015 23:23

smysl to dává dokonalý.
Stačí vyřešit obě podmínky a potom je zkombinovat.

Něco na způsob
Čísla dělitelná dvěma se zapíšou x = 2n, kde n je celé. (1)
Čísla dělitelná třema se zapíšou x = 3n, kde n je celé. (2)
Chci číslo, které je dělitelné jak dvěma, tak třema. Co musím proto udělat? musí platit jak podmínka (1) tak (2).

Prostě si vyjádřete matici A', pak A'' a dostanete obě v závislosti na nějakých paramtrech. Ty parametry se posléze zredukují, jelikož na ně budete klást více nároků při té kombinaci.

Zkus si vymyslet nějakou matici Q, jejíž obrazem v zobrazení $f_Q$ bude vektor (t,3t)
Můžu ti dát takový hint, co třeba matice (1,3)^T nebo třeba
$\begin{pmatrix} 1 & \pi \\ 3 & 3\pi \end{pmatrix}$

vanok · 09. 11. 2015 23:58 — Editoval vanok (10. 11. 2015 14:21)

Ahoj ↑ Freedy:,
Dobra rada, a naviac upresni, ze tu sa pracuje v $\mathbb{Z}_7$
( pre zaujimavost, kolko prvkov ma jadro a kolko ich ma obraz tohto zobrazenia?)
Dalsia otazka : je iste, ze take zobrazenie moze vobec existovat?

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2015 00:23

matica zobrazenia

#2 09. 11. 2015 01:19

Re: matica zobrazenia

#3 09. 11. 2015 01:34

Re: matica zobrazenia

#4 09. 11. 2015 07:41

Re: matica zobrazenia

#5 09. 11. 2015 18:57

Re: matica zobrazenia

#6 09. 11. 2015 19:04

Re: matica zobrazenia

#7 09. 11. 2015 19:06

Re: matica zobrazenia

#8 09. 11. 2015 19:21

Re: matica zobrazenia

#9 09. 11. 2015 19:21

Re: matica zobrazenia

#10 09. 11. 2015 19:56

Re: matica zobrazenia

#11 09. 11. 2015 19:59

Re: matica zobrazenia

#12 09. 11. 2015 20:34

Re: matica zobrazenia

#13 09. 11. 2015 20:56

Re: matica zobrazenia

#14 09. 11. 2015 21:03

Re: matica zobrazenia

#15 09. 11. 2015 21:10

Re: matica zobrazenia

#16 09. 11. 2015 21:24

Re: matica zobrazenia

#17 09. 11. 2015 21:29

Re: matica zobrazenia

#18 09. 11. 2015 21:30

Re: matica zobrazenia

#19 09. 11. 2015 21:47 — Editoval vytautas (09. 11. 2015 21:47)

Re: matica zobrazenia

#20 09. 11. 2015 23:17

Re: matica zobrazenia

#21 09. 11. 2015 23:23

Re: matica zobrazenia

#22 09. 11. 2015 23:58 — Editoval vanok (10. 11. 2015 14:21)

Re: matica zobrazenia

Zápatí