Matematické Fórum

Mauz · 10. 11. 2015 00:02

Dobrý den,

tento týden probíhá první kolo zápočtových testů MFF UK pro matematickou analýzu. Nedostatečná docházka na cvičení a psaní skript při přednáškách mi bohužel však nevysvětluje následující:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kaplicky … test-1.pdf

Konkrétně se jedná o příklady 2. a 3.(pro f(A)), kde nechápu jak se mohu obejít bez znalosti limit(které předpokládám, že zadání zakazuje).

U 2. příkladu chápu, jak řešit omezenost u intervalů s čísly.

Prosím poraďte mi, případně mi položte otázku, která by byla schopna upřesnit, v čem vidím nejasnost.

Celkově bohužel lituji, že mi není povolen přístup k nabytým znalostem, avšak to očekávám také u limit, kde nebudeme moci používat l'hopitalovo pravidlo, apod.

Děkuji,
Mauz

Freedy · 10. 11. 2015 00:16

Ahoj,

všude máš interval s čísly -.-
Myslíš tedy interval s nekonečnem?
Například omezenost u příkladu b) na intervalu $A=(-\infty ;-5\rangle$ ?
Můžeš postupovat například následovně. Nejprve určíš absolutní hodnotu dané funkce na zadaném intervalu:
Jelikož každý činitel v dané funkci, bude menší než nula na tomto intervalu, absolutní hodnota bude vypadat následovně:
$\Bigg|\frac{x-1}{(x-3)(x+2)}\Bigg|=\frac{1-x}{(3-x)(-x-2)}$
Nyní je potřeba danou funkci omezit shora. Jelikož zdola je omezená automaticky 0, pokud se jedná o absolutní hodnotu.
Nyní si daný zlomek rozdělme na dva a to:
$\frac{1-x}{(3-x)(-x-2)}=\frac{1-x}{3-x}\cdot \frac{1}{-x-2}$
Zlomek $\frac{1-x}{3-x}$ pro x z našeho intervalu nebude nikdy větší než 1. Proto nikdy nezvětší výraz $\frac{1}{-x-2}$ . Stačí tedy ukázat, že zlomek $\frac{1}{-x-2}$ je na daném intervalu omezený. Čím menší x budeme dosazovat, tím ten zlomek bude menší. Je tedy zřejmé, že pokud budeme x zvětšovat, bude jeho hodnota růst. Maximální hodnotu bude daný zlomek nabývat pro krajní hodnotu (-5), tedy:
$\frac{1}{-x-2}\le \frac{1}{-(-5)-2}, \forall x\in A$
Čili funkce f(x) je omezená.

U příkladu 3 je lepší si zopakovat středoškolskou látku. Definiční obor, obor hodnot, inverzní funkci a obraz funkce f na určitém intervalu, by na analýze měla být "jasná" věc.

Mauz · 10. 11. 2015 19:32

Ahoj, chtěl jsem se zeptat, jestli bys mi neporadil, jak řešit ty další příklady ze cvičení 2.(http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kaplicky … test-1.pdf); promiň neměl jsem to uzavírat, pokud jsem tomu dále nerozuměl, na což jsem přišel až teď.

Konkrétně by se jednalo o problémy 2. množina B (důkaz, že není omezená). Konkrétně nevím, jak bych měl pracovat např. s něčím ve tvaru:

f(x) = |x-1| + |3-x| - |x| <=> f(x) = x-1 + x-3 - x = x - 4; na množině B=(7;+inf)

Proč jsem se ptal na diferenciální výpočet (konkrétně limity), bylo z důvodu řešení takového problému jako limit okrajových bodů, což by odpovědělo na otázku, nicméně si nemyslím, že můžu následující okraje intervalu prostě do upravené funkce mrsknout následovně:

f(7) = 3 (to platí); f(+inf) = +inf + (-4) <- to je zanedbatelné => f(+inf) = + inf => funkce není omezená shora => funkce není omezená (nemyslím si, že by to tak fungovalo, prosím vyveď mě z omylu)

Dále pak nevím, jak u rozebraného příkladu (ale jen části, která se zabývá omezeností) pracuju s:

B=(-2;0) => f(x) = ((1-x)/(3-x)) * (1/x+2) , kde 1/3<((1-x)/(3-x))<3/5 a 1/(x+2)>1 , kde pro lim(x->(-2)zprava) 1/(x+2) = +inf...

Zbylé dvě zoufale stejně.

Bylo mi prozrazeno, že bych s tím měl pracovat jako s posloupností, což jsem však nedokázal zpracovat na pro mě pochopitelnou úroveň.

Poslední věc, byla druhá část (příklad 3. obraz funkce na určitém intervalu). Opět nevím, jak dokážu, že když budu funkci krmit čísly, které se blíží něčemu, co D(f) neobsahuje, když je funkce lomená, tak dostanu jedno z nekonečen bez použití limit.

Díky,
Mauz

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2015 00:02

Analyticky středoškolskými metodami(matematická analýza I.)

#2 10. 11. 2015 00:16

Re: Analyticky středoškolskými metodami(matematická analýza I.)

#3 10. 11. 2015 19:32

Re: Analyticky středoškolskými metodami(matematická analýza I.)

Zápatí