Matematické Fórum

ShadyDrob_cz · 08. 11. 2015 16:53

Ahoj,
potřeboval bych poradit jak vyřešit tuto úlohu:

Najdete všechna kladná $n \in \mathbb{Z}$ taková, že grupa $\mathbb{Z}_{n}^{*}$ má řád 12.

Prozatím vím, že to platí pro $n=13$ .

vanok · 08. 11. 2015 18:33

Ahoj ↑ ShadyDrob_cz:
Iste ste videli teoremu ktora upresnuje rad grupy $\mathbb{Z}_{n}^{*}$ ,
tak ju pouzi.

ShadyDrob_cz · 10. 11. 2015 14:36

↑ vanok:

No, ať hledám, jak hledám, našel jsem jen:
1. Grupa $\mathbb{Z}_x^p$ má řád $p-1$ .
2. V cyklické grupě řádu $n$ je počet generátorů roven $\varphi(n)$ .

Dle 1. mám to $n=13$ , a u 2. nevím zda mi pomůže, pokud bych hledal $n$ taková, že $\varphi(n)=12$ , tak mi to pouze dá $n$ mající 12 generátorů.

vanok · 10. 11. 2015 14:52

Ahoj
Neviem na akej urovni si.
Ani co studujes.

Asi vies ze automorfismy $Aut \mathbb{Z}_{n}$ su isomofne z $\mathbb{Z}_{n}^{*}$ .
Co da aj ze ten automorfismus je komutativna groupa radu $\varphi (n)$ =Eulerova funkcia cisla n.
Tak pochopitelne to ti da hned vysledok co si napisal.
Pre ine eventualne riesenia je uzitocne prehlbit studium automorfizmov takych group.

Ich studium je casto prehlbene v tretom rocniku, ak niekto studuje trochu hlbsie pojem grup....
Mozeme ti pripadne napisat potrebne vysledky.

Dobre pokracovanie.

vanok · 10. 11. 2015 15:17

Ahoj,
Tu som dal jedno cvicenie
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 55#p492355
tykajuce sa grup.

vanok · 10. 11. 2015 16:39

Este mala pomoc ( ale asi tazko pouzitelna bez teorie)
$\varphi (n)=12$
pour $n=13,2.13,2^2.7,3.7,2.3.7,2^2.3^2$ .

ShadyDrob_cz · 10. 11. 2015 19:11

↑ vanok:
Díky za pomoc,
teď už je mi to jasné snad.

S využitím tvé věty a poznatku, že $\mathbb{Z}_n^x=\{k \mid gcd(k,n)=1\}$ pro soudělná $n$ , pak vyplývá, že hledám taková $n$ , pro která $\varphi(n)=12$ a jsou formy, uvedené v tvé větě.

vanok · 10. 11. 2015 19:52

↑ ShadyDrob_cz:,
Na dokonaly dokaz potrebujes vetu o forme automorfismov takych grup. Vies kde To Nast?
Ak ti to staci tak je To ok. Ale dopln to co chyba, je to pekna casti algebry.

ShadyDrob_cz · 10. 11. 2015 19:58

↑ vanok:
K dispozici máme ještě větu: Pro každé $n \in \mathbb{N}$ jsou libovolné dvě cyklické grupy řádu $n$ izomorfní.
To by mohlo být pro tento případ dostačující.

vanok · 10. 11. 2015 20:07

↑ ShadyDrob_cz:,
Daj tvoje materialy in Line a tak ti potom mozem povedal co je pouzitelne.
Dobre pokracovanie.

ShadyDrob_cz · 10. 11. 2015 20:13

↑ vanok:
Zatím vycházím z těchto vět:
1. Grupa $\mathbb{Z}_p^x$ má řád $p-1$ . - možná zbytečné
2. $\mathbb{Z}_n^x=\{k \mid gcd(k,n)=1\}$
3. ultiplikativní grupa $\mathbb{Z}_n^x$ je cyklická právě když $n = 2, 4, p^k, 2p^k$ , kde $p$ je liché prvočíslo a $k \in \mathbb{N}$ .
4. Pro každé $n \in \mathbb{N}$ jsou libovolné dvě cyklické grupy řádu $n$ izomorfní.

Tedy, hledá taková $n$ , pro která je $\varphi(n)=12$ , jsou izomorfní a tvoří multiplikativní cyklickou grupu.