Matematické Fórum

a) myslim, ze (1+1/n)*(-1)^n

veronica napsal(a):

připravuji se na zkoušku a potřeuju pomoc s těmito příklady:
a) udejte příklad posloupnosti a(n) takové, že čísla 1, -1 jsou hromadnými body posloupnosti a a(n) neleží v {-1, 1}
b) udejte příklad posloupnosti a(n) mající nekonečně mnoho hromadných bodů
c) lim{n->oo} (n/(n+1)*2^(n / n^2 +1))
d) udejte příklad posloupnosti a(n), pro níž platí: lim sup a(n)= oo, lim inf a(n) = 0

děkuju moc za pomoc a zároveň prosím o vysvětlení postupu výpočtu

d) pro n sudé a pro n liché

ad b) pokud by šlo o šetření znaky, pak a_n=sin(n). Ta má za hromadné body všechna čísla z <-1,1> a řeší proto i a)

@robert.marik: Nevím, jestli přímo toto tvrzení. Ale něco o hustých množinách tvaru
{a+br| a,b celá čísla}, kde r je iracionální číslo, by se určitě někde našlo.

Náš důkaz by mohl fungovat takto:
Zvolme libovolné t.
Chceme ukázat, že pro každé epsilon existuje nekonečně mnoho celých c takových, že |sin(c)-sin(t)|<eps.
Víme, že sin má vždy směrnici mezi -1 a 1, proto pro největší celé k takové, že je
|c-t|>2kpi platí
|c-t|-2kpi>|sin(c)-sin(t)|
Chceme tedy najít nekonečně mnoho celých c, pro které
|c-t|-2kpi<eps, po vydělení 2pi
|c/2pi-t/2pi|-k<eps/2pi.
(k je opět největší celé číslo takové, že |c-t|>2kpi).
Pro zpřehlednění problému položme t'=t/2pi, eps'=eps/2pi, r=1/2pi a přijměme značení, v němž {x} je desetiná část x.  Máme  najít nekonečně mnoho c takových, že
{cr-t'}<eps'.
Snadno dokážeme*, že existuje taková nekonečná posloupnost c_n, že {c_n*r-t'} klesá rychleji než 1/2^n, někdy se tedy dostane pod každé eps' a tam už zůstane :)

*Ano, "snadno dokážeme" jsem zde použil v často užívaném významu "nejzajímavější část důkazu necháme čtenáři k věření". Možná jsem líný a možná jen nechci čtenáře připravit o ten okamžik, kdy zacvakne poslední dílek skládačky :)