Matematické Fórum

↑ Spaggiari:
Ahoj,
takový důkaz je - podobně jako řada dalších důkazů v základech algebry - poměrně přímočará a mechanická záležitost. Prostě vyjdeš ze slučitelnosti operace a funkce, tj. z toho, že platí f(g1.g2) = f(g1)*f(g2). Pak si jen ověříš, že v struktura (f[G],*) splňuje axiomy grupy.

Např. existenci neutrálního prvku v f[G] ukážeš poměrně jednoduše. Pro libovolný prvek a z grupy G platí:


Protože a je libovolné, je f(e) levý neutrální prvek grupy f[G]; podobně ukážeš, že je i pravý neutrální prvek. Pokud je f(e) levý i pravý neutrální prvek, je neutrální.

Existenci inverzního prvku dokážeš podobně. Pro libovolný prvek a z grupy G platí:


No a protože je f(e) neutrální prvek grupy f[G] a f(a) je libovolný prvek, je f(a^-1) levým inverzním prvkem f(a). Podobně ukážeš, že je i pravým inverzním prvkem a tedy že je inverzním prvkem.

Asociativitu si ukážeš také podobně mechanicky. No a až těch pár symbolů napíšeš, budeš mít hotov důkaz toho, že pokud je G grupa a f je zobrazení slučitelné s operacemi v G a H, je f[G] grupa.

Ahoj, ↑ vanok:.
Předpokládal jsem, že Spaggiari tento krok udělal a že narazil buď na přílišnou komplikovanost (pravda, kde by se tam vzala...) nebo na jazykovou bariéru.