Matematické Fórum

Sherlock

Máme funkci definovanou jako $f(x)=\frac{\sin x}{x}\Leftrightarrow x\in \{[10^{n},10^{n}+\frac{1}{n}],n\in \mathbb{N}\}$
Čemu se rovná $\lim_{x\to\infty }f(x)$ ? Dle definice by mělo platit, že $\lim_{x\to\infty }f(x)=0$

Od jistého $A$ skutečně začne platit tvrzení, že pro každé epsilon a pro každé x z definičního oboru:
$x>A\Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

Přijde mi to ale takové neintuitivní, vzhledem k tomu že směrem k nekonečnu je ta funkce čím dál méně definovaná a měla by tam mít limitu :))

Bati · 13. 11. 2015 21:20

↑ Sherlock:
Přijde ti to správně - limita nemůže existovat, protože daná funkce není definovaná na žádném okolí nekonečna.

Sherlock · 13. 11. 2015 21:25

↑ Bati:

Ta definice je pak nekompletní?

Eratosthenes

ahoj ↑ Sherlock:,

pozor, je to trochu jinak - kvantifikátory nemůžeš jen tak přehazovat:

Říkáš

"Existuje A tak, že pro každé epsilon a každé x...",

ale tak to není. Musí být

" Pro každé epsilon existuje A tak, že pro každé x..."

To je totiž něco jiného - takto je to správně. A pokud to takto v tomto případě funguje, pak je ta limita OK, i když je to neintuitivní.

Zdá se ti intuitivní spojitá funkce, která nemá nikde derivaci? Mně ne. A přece vesele existuje už sto padesát let a nikdo kvůli ní nepředělává ani spojitost, ani derivaci...

PS: V tomto případě ale limita neexistuje, protože "delta-epsilon" musí fungovat nikoli na definičním oboru, ale na celém okolí. A tvoje funkce není nikdy definovína na celém okolí nekonečna...

Bati · 13. 11. 2015 21:30

↑ Sherlock:
Ta definice z odkazu není standardní (cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_ … al_subsets).

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2015 20:57 — Editoval Sherlock (13. 11. 2015 21:25)

Limita v nevlastním bodě a definiční obor

#2 13. 11. 2015 21:20

Re: Limita v nevlastním bodě a definiční obor

#3 13. 11. 2015 21:25

Re: Limita v nevlastním bodě a definiční obor

#4 13. 11. 2015 21:29 — Editoval Eratosthenes (13. 11. 2015 21:35)

Re: Limita v nevlastním bodě a definiční obor

#5 13. 11. 2015 21:30

Re: Limita v nevlastním bodě a definiční obor

Zápatí