Matematické Fórum

Quimby · 15. 11. 2015 01:25

Dobrý večer, počítám si příklady z Lineární algebry a s jedním si nevím rady.
Zadání zní, že mám ověřit, že následující množina matic spolu s operácí násobení matic je grupa.
$( \begin{array}{ccc@{\quad}r} a & b \\ c & d \\ \end{array}) \in M_{2,2}(R) | ad - bc=1$

Hned jako první krok, co bych měl ověřit je uzavřenost na operaci, tedy na násobení dvou prvků. Ovšem nevím si s tím moc rady, matice mezi sebou vynásobím, ale nevím jak ověřit, že splňují podmínku.

Pokud si tedy napíšu:
$( \begin{array}{ccc@{\quad}r} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \\ \end{array}) \cdot ( \begin{array}{ccc@{\quad}r} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \\ \end{array}) = ( \begin{array}{ccc@{\quad}r} a_1.a_2 + b_1 .c_2 & a_1.b_2 + b_1.d_2 \\ c_1.a_2 + d_1.c_2 & c_1 . b_2 + d_1.d_2 \\ \end{array})$

Tak teď si nevím rady jak ověřit, že když a,b,c,d splňuje podmínku, tak ji splňuje i tato výsledná matice. Určitě to není nic těžkého, ale moc ani nevím k čemu se vlastně chci dopracovat.

Další kroky by bylo ověření asociativity(která podle mě plyne z definice násobení matic) a ex. neutrálního a opačného prvku(neutrální je podle mě jednotková matice, opačná je jen -jednotková matice, obě splňují podmínku).

Takže děkuji za pomoc, snad by mělo stačit jen malé popostrčení správným směřem.

vanok · 15. 11. 2015 01:48

Ahoj ↑ Quimby:,
Staci konstatovat, ze dana podmienka znamena ze deteminant tvojich matic je 1.

Quimby · 15. 11. 2015 12:37

Aha, no determinanty jsme ještě nebrali, co sem koukal do skript, tak to přesně teda odpovídá té podmínce, ale nevím jak to použít.
Výsledná matice teda taky musí mít determinant jedna, takže:
$(a_1 \cdot a_2 + b_1\cdot c_2)*(c_1 \cdot b_2 + d_1\cdot d_2) - (a_1\cdot b_2 + b_1\cdot d_2) * (c_1\cdot a_2 + d_1\cdot c_2) = 1$
Což sem prostě přepsal tu podmínku pro výslednou matici, ale jak zjistím, že platí? Nějak to dotoho musím zatáhnout vztahy:
$a_1 \cdot d_1 - b_1 \cdot c_1 = 1 \\ a_2 \cdot d_2 - b_2 \cdot c_2 = 1$

Mám to tam prostě dosadit? Jak sem psal, moc nevím k čemu se chci právě vůbec dostat.

vanok · 15. 11. 2015 14:31

↑ Quimby:
Normalne ked roznasobis prvy vyraz a potom tie dva druhe musis mat identicke cleny.
Dobre nasobenie

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2015 01:25

Ověření grupy pro matici

#2 15. 11. 2015 01:48

Re: Ověření grupy pro matici

#3 15. 11. 2015 12:37

Re: Ověření grupy pro matici

#4 15. 11. 2015 14:31

Re: Ověření grupy pro matici

Zápatí