Matematické Fórum

RadekF · 17. 11. 2015 10:27

Dobrý den, mám příklad :

$\int_{}^{}\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x dx$

můj postup : $\int_{}^{}(\frac{\sin 2x}{2})^{2}dx=\int_{}^{}\frac{\sin ^{2}2x}{4}dx=\frac{1}{4}\int_{}^{}\sin ^{2}2x$

udělal jsem substituci $y=2x$ , $dx=\frac{dy}{2}$

a zasekl jsem se zde : $\frac{1}{8}\int_{}^{}\sin ^{2}y dy=$

tady bych potřeboval poradit co dál nebo jestli to jde jiným postupem...

díky

Al1 · 17. 11. 2015 10:45

↑ RadekF:

Zdravím,

pokračuj metodou per partes.

Jinak by šlo upravit výraz
$\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x =\frac{\sin ^{2}2x}{4}=\frac{2\sin ^{2}2x}{8}=\frac{\sin ^{2}2x+1-\cos ^{2}2x}{8}=\frac{1-\cos 4x}{8}$

RadekF · 17. 11. 2015 11:06

díky, to jsem zkoušel a taky jsem se zadrhl ...

$\int_{}^{}1\cdot \sin ^{2}ydy=y\cdot \sin ^{2}y-\int_{}^{}y\cdot 2\sin y\cdot \cos ydy$ a tady nevím jestli dát 2 před integrál nebo použít 2siny*cosy=sin2y ..

Al1 · 17. 11. 2015 11:29

↑ RadekF:

Ovšem to je chybně

ve výrazu $\sin ^{2}y$ nejsou dvě funkce : sin a y.

Správně je

$u=\sin y, ; v^{\prime}=\sin y,\nl u^{\prime}=\cos y ,v=-\cos y$

Sherlock

pozn.: doplním že pomocí komplexní reprezentace goniom. fcí se to dá celkem hezky "mechanicky" upravit

platí:
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

RadekF · 17. 11. 2015 11:50

Sherlocku díky, ale komplexní čísla neumím...

Jinak u toho per partes se mi to cyklí pořád dokola

Sherlock · 17. 11. 2015 11:56

Právě jsem ti ukázal, že se s nimi dá počítat úplně normálně jako s jinými čísly. Akorát platí $i^{2}=-1$ .

Jinak v tvém případě bych postupoval spíš:
$\int_{}^{}\sin ^{2}ydy=-\cos y\sin y+\int_{}^{}\cos ^{2}ydy$
$\int_{}^{}\sin ^{2}ydy=-\cos y\sin y+\int_{}^{}1dy-\int_{}^{}\sin ^{2}ydy$

hoď levý integrál se sinem na druhou stranu a poděl 2 a máš výsledek :)

RadekF · 17. 11. 2015 12:10

↑ Sherlock: Díky moc, ten "trik" znám, jen mě nenapadlo cos^2 y převést na 1-sin^2 y ...↑ Al1: Taky děkuju ...

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2015 10:27

Integrál

#2 17. 11. 2015 10:45

Re: Integrál

#3 17. 11. 2015 11:06

Re: Integrál

#4 17. 11. 2015 11:29

Re: Integrál

#5 17. 11. 2015 11:40 — Editoval Sherlock (17. 11. 2015 11:41)

Re: Integrál

#6 17. 11. 2015 11:50

Re: Integrál

#7 17. 11. 2015 11:56

Re: Integrál

#8 17. 11. 2015 12:10

Re: Integrál

Zápatí