Matematické Fórum

ondra.jurij · 17. 11. 2015 23:20

Dobrý večer přátelé,
$f(x)=3\log_{2}(2x+1)$
mám určit definiční obor, což by nebyl problém, protože ten by byl $x>-1/2$
Jenže já mám určit definiční obor, tak, aby na něm byla výše uvedená funkce prostá. Udělal jsem k ní již funkci inverzní, ale přiznám se, že opravdu nevím, jak začít nebo jak příklad zkrátka vyřešit.
Mockrát děkuji za Vaši pomoc

OndrasV · 18. 11. 2015 05:58

↑ ondra.jurij: Logaritmus je prostá funkce na celém svém def. oboru a $2x+1$ taktéž. Funkce složená z prostých funkcí je sama prostá. Druhá cesta je spočíst první derivaci fce. Tak je na celém def. oboru kladná a tudíž ostře rostoucí. Ostře roustoucí funkce je funkce prostá.

ondra.jurij

Děkuji za odpověď,
ještě bych to rád podle první derivace objasnil. Ovšem vyjde mi 6/(x log (4) + log (2)) a tady pak zcela nevím jak dále pokračovat.

Al1 · 18. 11. 2015 07:44

↑ ondra.jurij:

Zdravím,

derivaci není třeba upravovat, jak jsi to udělal.

$y^{\prime}=\frac{6}{(2x+1)\ln 2}$

Z toho je lépe vidět, že pokud je $x>-\frac{1}{2}$ , je celý zlomek kladný, tedy daná fce je rostoucí v celém definičním oboru.

ondra.jurij · 18. 11. 2015 07:56

Haha, v jednoduchosti krása ... mockrát děkuju .)

Rumburak · 18. 11. 2015 11:41

↑ ondra.jurij:

Ahoj.

Nebo se dá postupovat tak, že se pokusíme inversní funkci určit přímo z definice tohoto pojmu.

Napíšeme si rovnici

(1) $y=f(x)$ , kde $f(x) := 3\log_{2}(2x+1)$ ,

a hledáme její řešení $x$ (v souladu s definičním oborem fce $f$ ) v závislosti na parametru $y$ .

Pokud ke každému reálnému $y$ existuje takové $x$ nejvýše jedno, pak fce $f$ má inversní funkci
na celém svém definičním oboru.

Pokud by pro některá $y$ měla rovnice (1) více než jedno řešení, pak bychom museli "přirozený"
definiční obor funkce $f$ patřičně zmenšit - tato situace zde však nenastane.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2015 23:20

Definiční obor s podmínkou

#2 18. 11. 2015 05:58

Re: Definiční obor s podmínkou

#3 18. 11. 2015 06:12 — Editoval ondra.jurij (18. 11. 2015 06:23)

Re: Definiční obor s podmínkou

#4 18. 11. 2015 07:44

Re: Definiční obor s podmínkou

#5 18. 11. 2015 07:56

Re: Definiční obor s podmínkou

#6 18. 11. 2015 11:41

Re: Definiční obor s podmínkou

Zápatí