Matematické Fórum

Jela · 07. 04. 2009 15:07

Poradíte mi někdo jakou metodou řešit toto? Počítání řad se zápornými čísly mi vůbec nejde. Moc dík

Rumburak · 07. 04. 2009 16:21

A co se má řešit ? Jen rozhodnout o konvergenci, nebo i sečíst ?

100metallica · 07. 04. 2009 16:25

ahoj prosim ta ako si tam dala ten vzorec? mne sa to nejako nedari :(

Marian · 07. 04. 2009 17:12

↑ Rumburak:
Sečíst se tato řada v uzavřeném tvaru nedá. Můžeme to ovšem brát jako docela solidní výzvu :-)

↑ Jela:
Nadpis napovídá, že se má zřejmě rozhodnout pouze o tom, zda-li řada konverguje nebo diverguje. Podle Leibnizova kriteria ale snadno dostaneš konvergenci této řady. Na druhou stranu, pokud chceme být přesnější, integrální kriterium dává pouze relativní konvergenci dané nekonečné řady.

Nicméně to ale vše pouze za předpokladu, že indexová množina pro sumaci neobsahuje prvek n=1. Pro tuto hodnotu nemá totiž první sčítanec smysl a nelze tudíž hovořit ani o nekonečné řadě.

↑ 100metallica:
Je zapotřebí zapsat do značek [tex*] a [/tex*] (hvězdičky umaž) LaTeXovský kód (více zde).

Jela · 07. 04. 2009 18:31

↑ Marian: Hlavní má být určení zda řada konverguje nebo diverguje, ale důležité je ukázat jak se k tomu došlo.

lukaszh · 07. 04. 2009 19:14

↑ Jela:
V tvojom prípade teda stačí pre postupnosť $a_n=\frac{1}{n\ln n}$ ukázať, že je klesajúca a má limitu 0. Presne podľa Leibnizovho kritéria.

Jela · 07. 04. 2009 19:50

↑ lukaszh: To znamená, že to pak vypadá takto? . Tedy 0 je <1 a tudíž řada konverguje. A ta -1 nám jen určuje, že v případě výpočtu střídám + s -?

lukaszh · 07. 04. 2009 19:53

↑ Jela:
Tá limita je veľmi veľmi zle zapísaná. Vo výraze sa nenachádza žiadne n, preto tam nie je čo počítať a symbol nekonečna akokeby strácal opodstatnenie. Samozrejme, že ide o buzeračnú poznámku z mojej strany ale na písomke by som to písal takto
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0$
To striedanie mocnín ti pravidelne mení znamienka, teda raz sa pričítava, raz sa odčítava, ale súčet toho radu ti neviem vypočítať.

Marian · 07. 04. 2009 21:01

↑ lukaszh:
Jak jsem už napsal výše. Je třeba poznamenat, že za daných okolností se nejedná o nekonečnou řadu. Že je funkce monotónní je potřeb také dokázat ačkoliv je to patrně jasné.

↑ Jela:
Nechápeš to správně! Pleteš si jednotlivá kritéria. U Leibnizova kriteria nezáleží na tom, je-li limita lim(a_n) menší nebo větší než jedna. Pokud si přečteš, jak vypadá Leibnizovo kriterium, zjistíš, že se musí jen ukázat, že takováto limita se musí rovnat nule. S jedničkou se tady nic neřeší. Tvé zdůvodnění je tedy nesprávné. Je zapotřebí ukázat celkem dvě věci:
(1) limita lim(a_n)=0,
(2) posloupnost {a_n} je od jistého indexu n klesající.

O jedničce již bylo hovořeno. U dvojky je to snadné, ale provedu to pro jistotu. Má-li být posloupnost {a_n} klesající, je zapotřebí ukázat, že pro všechna přirozená čísla n platí nerovnost $a_n>a_{n+1}$ . V našem případě je $a_n=1/(n\cdot\ln n)$ . Musíš proto dokázat nerovnost

Zde bych uvážil funkci $f(x)=x\cdot\ln x$ pro x>1. Ta je pro x>e rostoucí a platí pak poslední řádek s nerovností, jež je ekvivalentní s prvním. Stačí k tomu spočítat derivaci f'(x):
$f^{\prime}(x)=\ln x-1.$
Odtud se potvrzuje skutečně fakt, že f'(x)>0 pro x>e. Proto je $(n+1)\cdot\ln (n+1)>n\cdot\ln n$ pro n>e a tudíž platí i fakt,že posloupnost {a_n} je klesající.