Matematické Fórum

k.niccy@seznam.cz · 07. 04. 2009 21:36

Ahoj prosím o pomoc s příkladem:
Jsou dány kružnice: k1:x na druhou+y na druhou-18x-4y+60=0 a k2:x na druhou+y na druhou-4x-6y-12=0.Napiště rovnice tečen ke kružnici k1,k2 v jejich průsečících.
Děkuju moc.

Kondr · 07. 04. 2009 23:36

Najdeme průsečíky jako řešení soustavy zadaných dvou rovnic (odečíst, vyjádřit x pomocí y, dosadit do první rovnice a dopočítat).
Zkus spočítat sama a kdyžtak se ozvi.

Rovnici první kružnice přepíšeme do tvaru (x-9)^2+(y-2)^2=25, jedná se proto o kružnici se středem S=[9,2] a poloměrem 5. Normálový vektor tečny vedené bodem T je roven $\vec{ST}$ (tečna je kolmá na poloměr), normálový vektor nám dává první dva koeficienty do obecné rovnice tečny. Třetí koeficiet dopočítáme tak, aby bod T na tečně ležel. To uděláme pro oba průsečíky.

Analogicky postupujeme pro druhou kružnici -- doplněním na čtverec upravíme rovnici, najdeme střed, ...

gadgetka · 07. 04. 2009 23:52

(1) $x^2+y^2-18x-4y+60=0$
(2) $x^2+y^2-4x-6y-12=0$
--------------------------------
(1)-(2):
$-14x+2y+72=0\nly=\frac{14x-72}{2}=7x-36$

dosadíme do druhé rovnice:

$x^2+(7x-36)^2-4x-6\cdot (7x-36)-12=0\nlx^2+49x^2-504x+1296-4x-42x+216-12=0\nl50x^2-550x+1500=0\nlx^2-11x+30=0\nlx_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\nlx_1=6=>y=7\cdot 6-36=42-36=6\nlx_2=5=>y=7\cdot 5-36=35-36=-1$

$T_1[6,6]\nlT_2[5,-1]$

$x^2+y^2-18x-4y+60=0\nl(x^2-18x+81)-81+(y^2-4y+4)-4+60=0\nl(x-9)^2+(y-2)^2=25\nlt:(x-9)(x_0-9)+(y-2)(y_0-2)=25\nlT_1[x_0,y_0]=[6,6]\in t=>(x-9)\cdot(-3)+(y-2)\cdot 4=25\nl-3x+27+4y-8=25\nlt_1:-3x+4y-6=0\nlt_1:3x-4y+6=0$

$T_2[x_0,y_0]=[5,-1]\in t=>(x-9)\cdot(-4)+(y-2)\cdot (-3)=25\nl-4x+36-3y+6=25\nlt_2:-4x-3y+17=0\nlt_2:4x+3y-17=0$

$x^2+y^2-4x-6y-12=0\nl(x^2-4x+4)-4+(y^2-6y+9)-9-12=0\nl(x-2)^2+(y-3)^2=25\nlt:(x-2)(x_0-2)+(y-3)(y_0-3)=25\nlT_1[x_0,y_0]=[6,6]\in t=>(x-2)\cdot 4+(y-3)\cdot 3=25\nl4x-8+3y-9=25\nlt_3:4x+3y-42=0$

$T_2[x_0,y_0]=[5,-1]\in t=>(x-2)\cdot 3+(y-3)\cdot (-4)=25\nl3x-6-4y+12=25\nlt_4:3x-4y-19=0$

snad je to dobře... :)