Matematické Fórum

100metallica · 07. 04. 2009 16:19

ahojte...mam y=ln(1-x^2) , kde x patri do intervalu <0; 1/2>

mam vypocitat dlzku krivky...

dostal som sa po: $\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+(\frac{1}{(1-x^2)})^2}dx$

Ako sa to da doriesit? uz nemam sil na to fakt :( pol dna zahodeny :(

dakujem...

PS netusim ako sa to tam vklada v LaTeX-e

Rumburak · 07. 04. 2009 16:35

Špatně je spočítána derivace složené fce g(x) = ln f(x) . Mělo být f '(x) / f(x).

100metallica · 07. 04. 2009 16:41

↑ Rumburak:

Pardon, takze je to \int_{0}^{1/2}\sqrt{1+(\frac{1}{(1-x^2)}.(-2))^2}dx

Ale neviem, ci tam mam dat substituciu a za co alebo per partes ale nejako mi to nevychadza riesit a vysledok mam mat ln3-(1/2) :(

ttopi · 07. 04. 2009 16:45 — Editoval ttopi (07. 04. 2009 19:43)

$\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+(\ln(1-x^2)^\prime)^2}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+\Big(\frac{-2x}{1-x^2}\Big)^2}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{\frac{(1-x^2)^2+4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{(1-x^2)^2+4x^2}}{(1-x^2)}dx\nlsub:1-x^2=t\nlx=\sqrt{1-t}\nldx=-\frac{dt}{2\sqrt{1-t}}\nl\rightarrow\nl\int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{t^2+4(1-t)}}{t}\cdot-\frac{dt}{2\sqrt{1-t}}=\int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{t^2-4t+4}}{t}\cdot-\frac{dt}{2\sqrt{1-t}}=\int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{(t-2)^2}}{t}\cdot-\frac{dt}{2\sqrt{1-t}}=\int_{0}^{1/2}\frac{-t+2\ dt}{2t\sqrt{1-t}}$

A dál by to už snad mohlo jít, ne?

Pak třeba další substituci $\sqrt{1-t}=s$
.
..
...
Nakonec to opravdu vyjde $\ln3-\frac12$

kaja.marik

anebo
$\int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{(1-x^2)^2+4x^2}}{(1-x^2)}dx= \int_{0}^{1/2}\frac{\sqrt{(1+x^2)^2}}{(1-x^2)}dx= \int_{0}^{1/2}\frac{{(1+x^2)}}{(1-x^2)}dx$
a vydelit a na parcialni zlomky a zintegrovat

lukaszh · 07. 04. 2009 19:26

↑ ttopi:
V tvojom postupe však nevidím aplikáciu vety o substitúcii pre určitý integrál. Teda integrujem
$\int_{a}^{b}f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\rm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\,\rm{d}t$

Ešte je chybne prevedená subsitúcia

ttopi · 07. 04. 2009 19:44

↑ lukaszh:

A zpětné dosazení substituce a následné dosazení mezí ti nic neříká?

lukaszh · 07. 04. 2009 19:48

↑ ttopi:
Říká :-) Ja reagujem na tvoj zápis
$\int_{10}^{20}\frac{\ln x}{x}\ne\int_{10}^{20}t\,\rm{d}t$
To bol iba príklad a nijako nesúvisí so zadaním.

Kondr · 07. 04. 2009 20:16

$\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+(\ln(1-x^2)^\prime)^2}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+\Big(\frac{-2x}{1-x^2}\Big)^2}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{1/2}\sqrt{\frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}}dx$
Mocnina se "sežere" s odmocninou, rozložíme na parciální zlomky a jsme doma (ttopiho substituce je správná, ale můžeme si všimnout, že s=x).

ttopi · 07. 04. 2009 21:42

↑ lukaszh:
No záleží jak se na to díváš. Samozřejmě ideální je rovnou převádět i meze. Ale když je potřebuješ až na konci a řádně předtím zpětně dosadíš, není problém. Troufám si říct, že na většině vysokých škol je to běžným postupem, ikdyž není úplně košér :-)

ttopi · 07. 04. 2009 21:46

↑ Kondr:
Vidíš to kolego, toho jsem si všiml až teď. Ačkoli se nerad vymlouvám, úprava od kaji.marika a od tebe mě napadla až v průběhu (nejprve jsem si neuvědomil, jak lze upravit čitatele pod tou odmocninou) a už jsem to nechtěl celé předělávat.

Takže jsem zvolil cestu zbytečné okliky, nicméně je to úloha divergentního typu, jelikož více postupů vede ke stejnému a správnému cíli, jen jsem málo efektivní :-)

lukaszh · 07. 04. 2009 21:51

↑ ttopi:
Ak máš zo mňa nervy, tak to prosím ani nečítaj ďalej :-), súhlasím, že vysoké školy si prispôsobujú svojim potrebám. Študentom jednej nemenovanej vysokej školy bolo povolené písať symbol limity len na začiatku výpočtu, v strede výpočtu to nemuseli písať, čiže vznikali paradoxy typu
$\lim_{x\to0}\frac{2\sin x}{x}\stackrel{?}{=}2\cdot\frac{\sin x}{x}\stackrel{?}{=}2\cdot1=2$
Matematika však musí mať svoju úroveň, aj keď všetci vieme o čo ide :) Koniec OT

Kondr · 07. 04. 2009 21:59

↑ ttopi:Tak nějak jsem zběžně proletěl diskusi mezi tebou a lukazszem a příspěvek Káji Maříka přehlédl. A takovou jsem měl radost, když jsem vynalezl kolo ... :( Nicméně musím souhlasit s lukaszem, že nepřepisování mezí není správné. Za prvé píšeš rovnítko mezi věci, které se nerovnají, to se prostě nedělá (zvlášť když to po tobě má někdo číst a vyznat se v tom). Za druhé to tebe samotného může zmást -- i mistr tesař se utne a zapomenout zpětně upravit meze, když jsi u cíle, je opravdu snadné. Jestli je pro tebe rychlejší počítat a meze transformovat až na konci, doporučuju všechny integrály psát neurčité a meze vydiskutovat na konci.

100metallica · 08. 04. 2009 00:43

Pre plošný obsah rotacnej plochy, ktorá vznikne rotáciou grafu spojito diferencovatelnej nezápornej funkcie f(x), x je <a,b>, okolo osi x platí

S = 2*pi*\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+(f´(x))^2 }dx

Takze ten prvy vzorec je zly, a teraz absolutne neviem, ako to mam riesit...spravny vzorec je teda
\int_{0}^{1/2}\ln(1-x^2)*sqrt{1+(\frac{1}{(1-x^2)})^2}dx

ttopi · 08. 04. 2009 06:22

↑ Kondr:
Pokud jsi tedy přehlédl příspěvek od kajy.marika, znamená to, že jsi kolo opravdu vymyslel sám, jen jsi nebyl první :-)

K těm mezím: Samozřejmě, proto říkám, že to ení košér, ale je to běžnou praxí. Takových menších provinění děláme v matematice hodně, protože si je zkrátka můžem dovolit, ikdyž by to nemělo být. Něco podobného je, když někdo píše třeba goniometrické funkce bez argumentu. Já osobně jsem na zpětný převod nikdy nezapoměl, ale kdo se bojí, ať radši převádí soiběžně se zavádením substituce. Rozhodně ale, u nějaké zkoušky, budu převádět hned, abych si to zbytečně nekomplikoval :-)

lukash: No to je bohužel také jedna z realit. Někde jsem to viděl, ale bylo to s komentářem, že to "nepsaní ušetří čas", což je fakt a dá se to i pochopit. Pak jen, aby si na to student nezvykl a nepředvedl to u státnic, tam by to asi neprošlo :-)

100metallica: Prosímtě, můžeš ty zápisy dávat do TeXu? Pod psacím okýnkem máš hned nalevo TeX.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2009 16:19

Dlzka krivky :(

#2 07. 04. 2009 16:35

Re: Dlzka krivky :(

#3 07. 04. 2009 16:41

Re: Dlzka krivky :(

#4 07. 04. 2009 16:45 — Editoval ttopi (07. 04. 2009 19:43)

Re: Dlzka krivky :(

#5 07. 04. 2009 17:45 — Editoval kaja.marik (07. 04. 2009 17:46)

Re: Dlzka krivky :(

#6 07. 04. 2009 19:26

Re: Dlzka krivky :(

#7 07. 04. 2009 19:44

Re: Dlzka krivky :(

#8 07. 04. 2009 19:48

Re: Dlzka krivky :(

#9 07. 04. 2009 20:16

Re: Dlzka krivky :(

#10 07. 04. 2009 21:42

Re: Dlzka krivky :(

#11 07. 04. 2009 21:46

Re: Dlzka krivky :(

#12 07. 04. 2009 21:51

Re: Dlzka krivky :(

#13 07. 04. 2009 21:59

Re: Dlzka krivky :(

#14 08. 04. 2009 00:43

Re: Dlzka krivky :(

#15 08. 04. 2009 06:22

Re: Dlzka krivky :(

Zápatí