Matematické Fórum

tlonsky

Dobrý den, mám problém při řešení tohoto integrálu. Napadlo mě ještě zkusit rozvedení do řady, ale to neumím. Písmena k a d jsou konstanty
$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }sin^3(\Theta )*sin^2(0.5*k*d*sin(\Theta )*sin(\varphi ))d\Theta d\varphi$

Brano · 19. 11. 2015 14:33

pripada mi, ze taky vyraz vznikol pouzitim sferickych suradnic pri nejkom inom zadani - v tomto pripade by bolo dobre uviest aj povodny priklad, lebo je mozne, ze pouzitie sferickych suradnic bolo nevhodne.

tlonsky · 19. 11. 2015 15:09

Správně, jde o řešení anténní řady. Původní výraz je nutné integrovat přes kouli. $\int sin^2(\Theta )*r^2*sin^2(0.5*k*d*sin(\Theta )*sin(\varphi ))d\S$ kde $dS=r^2*sin(\Theta )d\Theta d\varphi$

Brano · 19. 11. 2015 15:55

tym radom by to slo - zatial navod:
v prvom rade si uvedom, ze mozes brat $\varphi\in(-\pi,\pi)$ (kvoli periodicite) a ze funkcia je parna vzhladom na $\varphi$ takze ten tvoj integral bude 2 krat integral ked $\varphi$ pojde od $0$ po $\pi$

teraz $\sin^2 t=(1-\cos2t)/2$ tkze tvoj integral sa zjednodusi na
$\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }sin^3(\theta )\{1-\cos[kd\sin(\theta )\sin(\varphi )]\}d\theta d\varphi$
no a $\cos$ uz vies rozviest do radu a dostanes
$\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }sin^3(\theta )\{\frac{k^2d^2\sin^2\theta\sin^2\varphi}{2!}-\frac{k^4d^4\sin^4\theta\sin^4\varphi}{4!}+...\}d\theta d\varphi$
takze si potrebujes iba odvodit vzorec pre
$\int_0^\pi\sin^nx\,dx$