Matematické Fórum

godzila

Zdravím, mohlo by mě někdo navést jak začít řešit.

Nechť R je libovolná relace na nějaké neprázdné množině X. Pro každou z vlastností RE, SY, TR, AN, AS, IR rozhodněte, zda lze vždy říci:
a) Pokud má relace R danou vlastnost, má ji nutně také relace $R^{2}$ (stejné jako $R\circ R$ )

b) Pokud má relace $R^{2}$ danou vlastnost, má ji nutně také relace R.

byk7 · 20. 11. 2015 09:42

$R^2$ znamená $R\circ R$ ?

godzila · 20. 11. 2015 09:45

Ano, omlouvám se (doplním do původního postu)

byk7 · 20. 11. 2015 11:23

Doporučil bych na to jít přes definici složené relace, tj. $(a,c)\in R\circ R$ pokud existuje $b$ takové, že $(a,b)\in R$ a $(b,c)\in R$ .

Z této definice jde rovnou vidět, že reflexivita se složením zachová (zkus si to důkladně rozepsat).
Podobný argument je se symetrií:

$(a,c)\in R\circ R$ , takže existuje $b$ takové, že $(a,b)\in R$ a $(b,c)\in R$ . Ale protože je $R$ symetrická, tak i $(c,b),(b,a)\in R$ , odkud plyne, že $(c,a)\in R\circ R$ . Tzn., že symetrie se složením zachová.

atd.

godzila

Díky moc, trochu mě to popostrčilo ale nějak nevidím z definice složené relace že se zachovává reflexivita.
Zkusil jsem to rozepsat trochu jinak

godzila · 21. 11. 2015 10:59

Jsou ty ověření správná?
Dávají protipříklady smysl?

Sherlock · 22. 11. 2015 21:15

Ahoj. Podle mě pod protipříkladem se rozumí nějaký konkrétní případ.

godzila · 23. 11. 2015 14:34

↑ Sherlock:

Takhle už jsou ty protipříklady v pořádku?
Co ty ostatní tvrzení, jsou v pořádku?

Sherlock

Spíš vymysli nějakou konkrétní relaci.

R°R refl., R ne
R = {(1,2),(2,1)} pro R na mn. A = {1,2}

A pokud se nepletu, z R°R irefl. vyplývá, že R je irefl.

v řeči množin:
$\forall x:(x,x)\not \in R\circ R\Leftrightarrow (\not \exists z):(x,z)\in R\wedge (z,x)\in R$
(přeškrknutý existenční kvantifikátor asi není úplně korektní, ale pro ukázku postačí :) znamená "neexistuje")

Když si vezmeš $z=x$ , dostaneš přesně definici ireflexivity, tj. že $(\not \exists x):(x,x)\in R$ , tj. $(\forall x):(x,x)\not \in R$