Matematické Fórum

Jenda358 · 21. 11. 2015 13:07

Další pěkná úloha ze základů matematické analýzy.

Dokažte nebo vyvraťte následující tvrzení:

Nechť $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ je posloupnost kladných reálných čísel a nechť $L\in [0 ,\infty ]$ . Pak $\lim_{n\to\infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$ právě tehdy, když $\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=L$ .

Pavel · 21. 11. 2015 13:53 — Editoval Pavel (21. 11. 2015 13:54)

↑ Jenda358:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 21. 11. 2015 14:04

Ahoj ↑ Jenda358:,
Upresni podmienky tvojej ekvivalencie.
Jeden priklad
Pre $u_n=2+(-1)^n$ , je jednoduche vidiet, ze
$\lim_{n\to\infty } \sqrt[n] {u_n}=1$
Na vsak $\lim_{n\to\infty } \frac {u_{n+1}}{u_n}$ nexistuje.

vanok · 21. 11. 2015 14:09 — Editoval vanok (21. 11. 2015 14:13)

Pozdravujem ↑ Pavel:,
Akoze vidim, ze som dal iny protipriklad, tak ho necham.

Inac je jedna tema tykajuca sa vysetrovania konvergencie rad vdaka kriteriam d'Alembert-a a Cauchy-ho ktoru by mohol kolega ↑ Jenda358: trochu popozerat.l

Pavel · 21. 11. 2015 14:40

↑ vanok:

Máš pravdu. Existují způsoby, jak srovnávat "účinnost" kritérií pro konvergenci nekonečných řad. Pěkně o tom píše T. Šalát v knize Nekonečné rady

Jenda358 · 21. 11. 2015 14:44

Oba máte pravdu. Zadání jsem jsem myslel přesně tak, jak jsem ho napsal, a řešení jsem si představoval takové, jaké jste oba podali.

Aby nebylo tak rychle hotovo, ještě dodávám další otázku:

Platí alespoň jedna implikace v původním tvrzení?

↑ vanok: Vaše zmínka o d'Alembertově a Cauchyho kritériu je zcela na místě. Inspirací ke vzniku této úlohy totiž byla právě tato kritéria.

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2015 13:07

Tvrzení o limitách II

#2 21. 11. 2015 13:53 — Editoval Pavel (21. 11. 2015 13:54)

Re: Tvrzení o limitách II

#3 21. 11. 2015 14:04

Re: Tvrzení o limitách II

#4 21. 11. 2015 14:09 — Editoval vanok (21. 11. 2015 14:13)

Re: Tvrzení o limitách II

#5 21. 11. 2015 14:40

Re: Tvrzení o limitách II

#6 21. 11. 2015 14:44

Re: Tvrzení o limitách II

Zápatí