Matematické Fórum

Monograptus

Narazil jsem na to v učebnici pro základní školy, je tam popsaná jedna vlastnost prvočísel, kterou dost nechápu.
výraz
$p^{2}+11$
kde p je libovolné prčovíslo větší jak 3,
je bezezbytku dělitený dvanácti.

Proč?

Myslel jsem na malou větu Fermatovu, ale ta je o něčem jiném.

misaH · 21. 11. 2015 22:48 — Editoval misaH (21. 11. 2015 22:48)

↑ Monograptus:

Ahoj. :-)

prčovíslo

základná škola

Podivnosti...

Monograptus

↑ misaH:
Jo, základní škola. Je to v kapitole o krácení zlomků. Rozkladem čitatele a jmenovatele na prvočísla a pak pokrácení.
Je to tahle knížka:
http://www.martinus.cz/?uItem=35986

Honzc · 22. 11. 2015 09:13 — Editoval Honzc (22. 11. 2015 09:18)

↑ Monograptus:
Zkusím ti to vysvětlit.
Výraz $p^{2}+11$ si přepíšeme na tvar $p^{2}+11=p^{2}-1+12$
Protože číslo $12$ je jistě dělitelné $12$ stačí dokázat, že $p^{2}-1$ je dělitelné $12$ (pro $p>3$ )
Nevím, jestli jste už brali vzoreček, $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ - jestli ne, tak věř, že je pravdivý.
Potom $p^{2}-1=(p-1)(p+1)$
Aby nějaké číslo bylo dělitelné 12 musí být dělitelné 3 a zároveň 4.
Protože každé prvočíslo větší než 3 je liché číslo musí být čísla $p-1$ i $p+1$ čísla sudá, a tedy každé z nich dělitelné 2. (pak tedy $p^{2}-1$ musí být dělitelné 4)
A teď ještě dokážeme, že $p^{2}-1$ je dělitelné číslem 3.
Vyslovíme tvrzení, že v každé trojici po sobě jdoucích čísel je právě jedno dělitelné 3. (to je asi zřejmé, že to tak je)
My máme takovou trojici: $p-1,p,p+1$
Protože číslo $p(p>3)$ je prvočíslo, nemůže být dělitelné 3 (pak by to nebylo prvočíslo)
A tedy jedno z čísel $p-1$ nebo $p+1$ musí být dělitelné 3.
Tím jsme dokázali, že $p^{2}-1$ je dělitelné $3$ a zároveň i $4$ , to znamená, že je dělitelné i $12$
Potom i $p^{2}+11$ je dělitelné $12$ pro $p>3$

Akojeto · 22. 11. 2015 09:23

↑ Monograptus:

:-D

Len pre poriadok: učebnica to nie je. Sú to knižky pre záujemcov o matematiku (ktoré napísal tento pán). Sú zaujímavé a zábavné, ale priamo učebnice to nie sú. A pre základnú školu už vôbec nie.

Ale samozrejme, učebnica v zmysle "kniha z ktorej sa niekto učí" to pre niekoho byť môže.

Monograptus

↑ Akojeto:
Aha, Já to koupil pro dítě v 4. tř. ZŠ.
Zlomky a průměr mi nosil jako domácí úkoly.

Monograptus · 22. 11. 2015 10:24

↑ Honzc:
Ó děkuji. Jak prosté.
Já v tom hledal bůhvíjaké složitosti.

byk7 · 22. 11. 2015 11:02

↑ Monograptus:

Ona se dá použít i ta Malá Fermatova věta, přímo z ní máme, že pro $p>3$ máme $p^2\equiv 1(\bmod 3)\Rightarrow p^2+11\equiv 1+11\equiv 0(\bmod 3)$ . A dále pro každé liché prvočíslo je $p\equiv \pm1(\bmod 4)\Rightarrow p^2+11\equiv (\pm1)^2+11\equiv 0(\bmod 4)$ a jsme hotovi.

jelena · 22. 11. 2015 11:15

Zdravím,

↑ Honzc: děkuji, neuměla jsem najít důkaz dělitelnosti 3 (začátek stejně).

↑ Monograptus: u nás v knihovně je tato série na dětském oddělení, jednu dobu jsem milému synovi (teď má 15) na přání půjčovala (ale hlavně dějepis) + doma máme "Děsivé míry a váhy", před časem přečetl a informace používal :-) Tedy pokud synovi vyhovuji styl, tak jako doplňková literatura určitě dobře.

Pro zajímavost uvedu další zdroje synova studia:
dějepis,
všechno možné a také všechno možné.
Naopak, když jsem ho nabádala, aby prošel testy, tak reagoval, zda nebude lepší, když si propočte sbírku. Tož si vyberte :-)

misaH · 22. 11. 2015 11:26

↑ byk7:

:-)

Al1 · 22. 11. 2015 13:04

Zdravím všechny,

pár knih Vražedné matematiky jsem četl, bohužel se v nich kromě dobrých nápadů objevují i chyby.

misaH · 22. 11. 2015 20:02

↑ Al1:

:-)

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2015 22:33 — Editoval Monograptus (21. 11. 2015 23:23)

zajímavá vlastnost prvočísel

#2 21. 11. 2015 22:48 — Editoval misaH (21. 11. 2015 22:48)

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#3 21. 11. 2015 23:16 — Editoval Monograptus (21. 11. 2015 23:21)

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#4 22. 11. 2015 09:13 — Editoval Honzc (22. 11. 2015 09:18)

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#5 22. 11. 2015 09:23

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#6 22. 11. 2015 10:11 — Editoval Monograptus (22. 11. 2015 10:15)

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#7 22. 11. 2015 10:24

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#8 22. 11. 2015 11:02

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#9 22. 11. 2015 11:15

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#10 22. 11. 2015 11:26

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#11 22. 11. 2015 13:04

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

#12 22. 11. 2015 20:02

Re: zajímavá vlastnost prvočísel

Zápatí