Matematické Fórum

EvBes · 23. 11. 2015 13:11

Ahoj, prosím pomohl by mi někdo s touto limitou?
Vím, že když se limita blíží k 0 tak sinx/x je 1, ale nějak nevím, jak to upravit. Děkuji

$\lim_{x\to0}\frac{sinx - x}{tgx - x}$

Rumburak

↑ EvBes:
Ahoj.

Zkusme funkční výraz upravit:

$\frac{\sin x - x}{\tan x - x} = \frac{\sin x - x}{\frac {\sin x}{\cos x} - x} = \frac{\cos x (\sin x - x)}{\sin x - x \cos x}$ .

Podstatné tedy bude spočítat limitu ze zlomku

$\frac{\sin x - x}{\sin x - x \cos x}$

resp. z jeho převrácené hodnoty

$\frac{\sin x - x \cos x}{\sin x - x} = \frac{(\sin x - x) + (x - x \cos x)}{\sin x - x} = 1 + \frac{ x - x \cos x}{\sin x - x}$

Můžeme použít buďto Maclaurinových rozvojů funkcí sin, cos nebo l'Hospitalovo pravidlo (několikrát).
Druhou variantu můžeme aplikovat přímo na původní zlomek.

jarrro · 23. 11. 2015 14:45 — Editoval jarrro (23. 11. 2015 14:59)

$\lim_{x\to0}\frac{\sin{$x$} - x}{\mathrm{tg}{$x$} - x}=\lim_{x\to 0}{\cos{$x$}\frac{\frac{\sin{$x$}-x}{x^3}}{\frac{\sin{$x$}-x}{x^3}+\frac{1-\cos{$x$}}{x^2}}}$

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2015 13:11

Limita

#2 23. 11. 2015 14:11 — Editoval Rumburak (23. 11. 2015 14:14)

Re: Limita

#3 23. 11. 2015 14:45 — Editoval jarrro (23. 11. 2015 14:59)

Re: Limita

Zápatí